Просмотр кода страницы B-сплайн

'''B-сплайн''' — [[сплайн]]-функция, имеющая наименьший [[Носитель функции|носитель]] для заданной [[Степень многочлена|степени]], [[Гладкая функция|порядка гладкости]] и разбиения [[Область определения|области определения]]. Фундаментальная теорема устанавливает, что любая сплайн-функция для заданной степени, гладкости и области определения может быть представлена как [[линейная комбинация]] B-сплайнов той же степени и гладкости на той же области определения.<ref>{{книга |заглавие=A Practical Guide to Splines |ссылка=https://archive.org/details/practicalguideto0027debo/page/113 |издательство=[[Springer Science+Business Media|Springer-Verlag]] |страницы=113—114 |год=1978 |язык=und |автор=Carl de Boor}}</ref> Термин ''B-сплайн'' был введён [[Шёнберг, Исаак Якоб|И. Шёнбергом]] и является сокращением от словосочетания «базисный сплайн».<ref>{{книга |заглавие=A Practical Guide to Splines |ссылка=https://archive.org/details/practicalguideto0027debo/page/114 |издательство=[[Springer Science+Business Media|Springer-Verlag]] |страницы=114—115 |год=1978 |язык=und |автор=Carl de Boor}}</ref> B-сплайны могут быть вычислены с помощью [[Алгоритм де Бура|алгоритма де Бура]], обладающего [[Вычислительная устойчивость|устойчивостью]].

В [[Система автоматизации проектных работ|системах автоматизированного проектирования]] и [[Компьютерная графика|компьютерной графике]] термин '''B-сплайн''' часто описывает сплайн-кривую, которая задана сплайн-функциями, выраженными линейными комбинациями B-сплайнов.

== Определение ==

Когда узлы равноудалены друг от друга, говорят, что B-сплайн является '''однородным''', в противном случае его называют '''неоднородным'''

== Замечания ==

Когда количество узлов совпадает со степенью сплайна, B-сплайн вырождается в [[Кривая Безье|кривую Безье]]. Форма базисной функции определяется расположением узлов. [[Масштабирование]] или [[параллельный перенос]] [[Базис|базисного вектора]] не влияет на базисную функцию.

Сплайн содержится в [[Выпуклая оболочка|выпуклой оболочке]] его опорных точек.

Базисный сплайн степени ''n''
: <math>b_{i,n}(t)\,\;</math>
не обращается в нуль только на промежутке [''t''<sub>''i''</sub>, ''t''<sub>''i+n+1''</sub>], то есть
: <math>b_{i,n}(t) = \left\{\begin{matrix} 
>0 & \mathrm{if} \quad t_{i} \le t < t_{i+n+1} \\
0 & \mathrm{otherwise} 
\end{matrix}
\right.
</math>
Другими словами, изменение одной опорной точки влияет только на локальное поведение кривой, а не на глобальное, как в случае [[Кривая Безье|кривых Безье]].

[[Базисная функция]] может быть получена из [[Полином Бернштейна|полинома Бернштейна]]

=== P-сплайн ===
P-сплайн является модификацией B-сплайна и отличается использованием штрафной функции. Её введение позволяет использовать B-сплайновое сглаживание с весовыми коэффициентами для подгонки кривой в сочетании с дополнительным повышением гладкости и исключением [[переобучение|переобучения]] на основе штрафной функции<ref>Eilers, P.H.C. and Marx, B.D. (1996). Flexible smoothing with B-splines and penalties (with comments and rejoinder). Statistical Science 11(2): 89-121.</ref>. 

== См. также ==
* [[Сплайн]]
* [[NURBS]]
* [[Алгоритм де Бура]]
* [[Атомарные функции]]

== Ссылки ==
* [http://www.ibiblio.org/e-notes/Splines/Basis.htm Interactive java applets for B-splines]
* [http://mathworld.wolfram.com/B-Spline.html B-spline on MathWorld]
* [https://web.archive.org/web/20070531044251/http://math.fullerton.edu/mathews/n2003/B-SplinesMod.html Module B-Splines by John H. Mathews]
* [http://www.qwerkop.de/qwerkop-projects-bspline.php BSpline Java Applet by Stefan Beck (with C++ Source)] {{Wayback|url=http://www.qwerkop.de/qwerkop-projects-bspline.php |date=20071219091611 }}

== Примечания ==
{{примечания}}

== Литература ==
* {{книга|автор=Роджерс Д.,Адамс Дж.|заглавие=Математические основы машинной графики|издательство=Мир|место=М.|Издание=2-е, перераб. и доп.|станиц=604|год=2001|isbn=5-03-002143-4}}
* {{Книга:Корнейчук Н.П., Бабенко В.Ф., Лигун А.А.: Экстремальные свойства полиномов и сплайнов}}

{{перевести|en|B-spline}}
{{Внешние ссылки}}
{{math-stub}}
{{Кривые}}

[[Категория:Сплайны]]
[[Категория:Теория приближений]]