Просмотр кода страницы N-группа (теория групп)

'''N-группа''' — это группа, все локальные подгруппы (то есть [[Центр группы|нормализаторы]] нетривиальных  ''p''-подгрупп) которой [[Разрешимая группа|разрешимы]]. Неразрешимые случаи Томпсон классифицировал во время работы по поиску всех минимальных конечных простых групп.

== Простые N-группы ==

Простые  N-группы классифицировал Томпсон{{sfn|Thompson|1968}}{{sfn|Thompson|1970}}{{sfn|Thompson|1971}}{{sfn|Thompson|1973}}{{sfn|Thompson|1974}}{{sfn|Thompson|1974b}} в серии из 6 статей общим объёмом около 400 страниц.

Простые N-группы состоят из [[Специальная линейная группа|специальных линейных групп]] <math>\mathrm{PSL}_2(q),\mathrm{PSL}_3(3)</math>,  {{не переведено 5|Группы Сузуки|групп Сузуки||Suzuki groups}} <math>\mathrm{Sz}(2^{2n+1})</math>,   унитарной группы <math>\mathrm{U}_3(3) </math>,  [[Знакопеременная группа|знакопеременной группы]] ''A''<sub>7</sub>,  [[Группа Матьё|группы Матьё]] M<sub>11</sub> и [[Группа Титса|группы Титса]]. (Группа Титса была опущена в исходном докладе Томпсона в 1968, но Хирн указал, что она также является простой N-группой). Более обще,  Томпсон показал, что любая неразрешимая N-группа является подгруппой Aut(''G''), содержащей ''G'' для некоторой простой N-группы ''G''.

Горенстейн и Лайонс{{sfn|Gorenstein, Lyons|1976}} обобщили теорему Томпсона на случай групп, у которых все 2-локальные подгруппы разрешимы. Единственные простые группы, которые при этом добавилась — это унитарные группы U<sub>3</sub>(''q'').

== Доказательство ==
Горенстейн{{sfn|Gorenstein|1980|с=16.5}} даёт сводку классификации Томпсона N-групп.

Простые числа, делящие порядок группы, делятся на четыре класса <math>\pi_1,\pi_2,\pi_3,\pi_4</math>
* <math>\pi_1</math> — это множество простых ''p'', таких, что силовская ''p''-подгруппа нетривиальна и циклическая.
* <math>\pi_2</math> — это множество простых ''p'', таких, что силовская ''p''-подгруппа ''P'' является нециклической, но SCN<sub>3</sub>(''P'') пуста
* <math>\pi_3</math> — это множество простых ''p'', таких, что силовская ''p''-подгруппа ''P'' имеет непустую SCN<sub>3</sub>(''P'') и ''P'' нормализуют нетривиальную абелеву подгруппу с порядком, взаимно простым с ''p''.
* <math>\pi_4</math> — это множество простых ''p'', таких, что силовская ''p''-подгруппа ''P'' имеет непустую SCN<sub>3</sub>(''P''), но не нормализует нетривиальную абелеву подгруппу с порядком, взаимно простым с ''p''.

Доказательство делится на несколько случаев, в зависимости от того, какому из этих четырёх классов простое 2 принадлежит, а также от целого ''e'', которое является наибольшим целым, для которого существует {{не переведено 5|Элементарная абелева группа|элементарная абелева||elementary abelian}} подгруппа ранга ''e'', нормализованная нетривиальной 2-подгруппой.

* 1968 Томпсон{{sfn|Thompson|1968}} дал общее введение, высказав главную теорему и доказав предварительные леммы.
* 1970 Томпсон{{sfn|Thompson|1970}} описал группы ''E''<sub>2</sub>(3) и ''S''<sub>4</sub>(3) (в обозначениях Томпсона, это исключительная группа ''G''<sub>2</sub>(3) и симплектическая группа ''Sp''<sub>4</sub>(3)), которые N-группами не являются, но их описание необходимо для доказательства основной теоремы.
* 1971 Томпсон{{sfn|Thompson|1971}} рассмотрел случай <math>2 \notin \pi_4</math>. Теорема 11.2 показывает, что в случае <math>2 \in \pi_2</math> группа является группой <math>\mathrm{PSL}_2(q), \mathrm{M}_{11},A_7, \mathrm{U}_3(3) </math> или <math>\mathrm{PSL}_3(3) </math>. Возможность <math>2 \in \pi_3</math> исключена, показав, что любая такая группа должна быть C-группой и с помощью классификации Сузуки C-групп проверяется, что ни одна из групп, найденных Сузуки, не удовлетворяет этому условию.
* 1973 Томпсон{{sfn|Thompson|1973}}{{sfn|Thompson|1974}} рассмотрел случаи <math>2 \in \pi_4</math> и <math>e \geqslant 3</math> или <math>e=2</math>. Он показал, что либо ''G'' является [[C-группа|C-группой]], так что это группа Сузуки, или удовлетворяет описанию групп ''E''<sub>2</sub>(3) и ''S''<sub>4</sub>(3) в его второй статье, которые не являются N-группами.
* 1974 Томпсон{{sfn|Thompson|1974}} рассмотрел случай <math>2 \notin \pi_4</math> и ''e''=1, где единственным возможным вариантом является случай, когда ''G'' является [[C-группа|C-группой]] или [[Группа Титса|группой Титса]].

== Следствия ==
'''Минимальная простая группа''' — это нециклическая простая группа, все собственные подгруппы которой разрешимы. 
Полный список минимальных простых групп дал Томпсон{{sfn|Thompson|1968|с=corollary 1}}
* PSL<sub>2</sub>(2<sup>''p''</sup>), ''p'' простое.
* PSL<sub>2</sub>(3<sup>''p''</sup>), ''p'' нечётное простое.
* PSL<sub>2</sub>(''p''), ''p''&nbsp;>&nbsp;3 простое, сравнимое с 2 или 3 mod&nbsp;5
* Sz(2<sup>''p''</sup>), ''p'' нечётное простое.
* PSL<sub>3</sub>(3)

Другими словами, нециклические {{не переведено 5|Конечная простая группа|конечные простые группы||finite simple group}} должны иметь подфактор, изоморфный одной из этих групп.

== Примечания ==
{{примечания|2}}

== Литература ==
{{refbegin|colwidth=30em}}
* {{статья
|автор=Gorenstein D., Lyons R.
|ref=Gorenstein, Lyons
|заглавие=Nonsolvable finite groups with solvable 2-local subgroups
|doi=10.1016/0021-8693(76)90233-7
|mr=0407128
|год=1976
|издание=[[Journal of Algebra]]
|issn=0021-8693
|том=38
|issue=2
|страницы=453–522
}}
* {{статья
|автор=Gorenstein D.
|ref=Gorenstein
|заглавие=Finite Groups
|издательство=Chelsea
|место=New York
|isbn=978-0-8284-0301-6
|mr=569209
|год=1980
}}
* {{статья
|ref=Thompson
|автор=John G. Thompson
|заглавие=Nonsolvable finite groups all of whose local subgroups are solvable
|ссылка=http://www.ams.org/journals/bull/1968-74-03/S0002-9904-1968-11953-6/home.html
|doi=10.1090/S0002-9904-1968-11953-6
|mr=0230809
|год=1968
|издание=[[Bulletin of the American Mathematical Society]]
|issn=0002-9904
|том=74
|страницы=383–437
}}
* {{статья
|ref=Thompson
|автор=John G. Thompson
|заглавие=Nonsolvable finite groups all of whose local subgroups are solvable. II
|ссылка=http://projecteuclid.org/euclid.pjm/1102976977
|mr=0276325
|год=1970
|издание=[[Pacific Journal of Mathematics]]
|issn=0030-8730
|том=33
|страницы=451–536
|doi=10.2140/pjm.1970.33.451
}}
* {{статья
|ref=Thompson
|автор=John G. Thompson
|заглавие=Nonsolvable finite groups all of whose local subgroups are solvable. III
|ссылка=http://projecteuclid.org/euclid.pjm/1102969573
|mr=0313378
|год=1971
|издание=[[Pacific Journal of Mathematics]]
|issn=0030-8730
|том=39
|страницы=483–534
|doi=10.2140/pjm.1971.39.483
}}
* {{статья
|ref=Thompson
|автор=John G. Thompson
|заглавие=Nonsolvable finite groups all of whose local subgroups are solvable. IV
|ссылка=http://projecteuclid.org/euclid.pjm/1102945433
|mr=0369512
|год=1973
|издание=[[Pacific Journal of Mathematics]]
|issn=0030-8730
|том=48
|страницы=511–592
|doi=10.2140/pjm.1973.48.511
}}
* {{статья
|ref=Thompson
|автор=John G. Thompson
|заглавие=Nonsolvable finite groups all of whose local subgroups are solvable. V
|ссылка=http://projecteuclid.org/euclid.pjm/1102913706
|mr=0369512
|год=1974
|издание=[[Pacific Journal of Mathematics]]
|issn=0030-8730
|том=50
|страницы= 215–297
|doi=10.2140/pjm.1974.50.215
}}
* {{статья
|ref=Thompson
|автор=John G. Thompson
|заглавие=Nonsolvable finite groups all of whose local subgroups are solvable. VI
|ссылка=http://projecteuclid.org/euclid.pjm/1102912481
|mr=0369512
|год=1974b
|издание=[[Pacific Journal of Mathematics]]
|issn=0030-8730
|том=51
|страницы=573–630
|doi=10.2140/pjm.1974.51.573
}}
{{refend}}

[[Категория:Конечные группы]]
{{rq|checktranslate|style}}