Просмотр кода страницы N-мерная грань

В [[Стереометрия|стереометрии]] '''грань''' — это плоская поверхность ([[Плоскость|плоская]] область, например — [[многоугольник]] или [[круг]]), которая образует часть границы твердого объекта;<ref>{{Cite book|заглавие=[[Merriam-Webster's Collegiate Dictionary]]|издание=Eleventh|место=Springfield, MA|издательство=[[Merriam-Webster]]|год=2004}}</ref> трехмерное тело, ограниченное исключительно гранями, есть ''[[многогранник]]''.

В технических трактовках геометрии [[многогранник]]ов и [[политоп]]ов более высокой размерности этот термин также используется для обозначения элемента любой размерности более общего политопа (в любом количестве измерений).<ref name="Matoušek"/>

== Многоугольник (грань) ==
В элементарной геометрии '''грань''' — это [[многоугольник]]{{Efn|Some other polygons, which are not faces, are also important for polyhedra and tilings. These include [[Petrie polygon]]s, [[vertex figures]] and [[Facet (geometry)|facets]] (flat polygons formed by coplanar vertices that do not lie in the same face of the polyhedron).|группа=note}} на границе [[многогранник]]а.<ref name="Matoušek"/><ref>{{книга|автор=Cromwell, Peter R.|заглавие=Polyhedra|издательство=[[Cambridge University Press]]|год=1997|язык=en|страниц=451|isbn=9780521664059|часть=Indivisible Inexpressible and Unavoidable|ссылка часть=https://books.google.com/books?id=OJowej1QWpoC&pg=PA13|ссылка=https://books.google.com/books?id=OJowej1QWpoC|страницы=13}}</ref> Другие названия многоугольной грани включают '''сторону многогранника''' и евклидову плоскую ''[[Замощение (геометрия)|плитку]]''.

Например, любой из шести [[квадрат]]ов, ограничивающих [[куб]], является гранью куба. Иногда «грань» также используется для обозначения двумерных особенностей [[Четырёхмерный многогранник|четырёхмерного многогранника]]. В этом смысле [[тессеракт]] имеет 24 квадратных грани, каждая из которых разделяет два из 8 [[куб]]ов, образующих тессеракт.<center>
{| class="wikitable" width="640"
|+Стандартные примеры по [[Символ Шлефли|символу Шлефли]]
! [[Правильный многогранник|Многогранник]]
! [[Тело Кеплера — Пуансо|Звездный многогранник]]
! [[Мозаики из выпуклых правильных многоугольников на евклидовой плоскости|Евклидова мозаика]]
! [[Список правильных многомерных многогранников и соединений|Гиперболическая мозаика]]
! [[Правильный четырёхмерный многогранник|4-многогранник]]
|-
! [[Куб|{4,3}]]
! [[Малый звёздчатый додекаэдр|{5/2,5}]]
! [[Квадратный паркет|{4,4}]]
! {4,5}
! [[Тессеракт|{4,3,3}]]
|- align="center" valign="top"
|[[Файл:Hexahedron.png|100x100пкс]] [[Куб]] имеет 3 квадратных ''грани'' у каждой вершины.
|[[Файл:Small_stellated_dodecahedron.png|106x106пкс]] [[Малый звёздчатый додекаэдр|Малый звездчатый додекаэдр]] имеет 5 [[Пентаграмма|пентаграммных]] граней у каждой вершины.
|[[Файл:Tile_4,4.svg|100x100пкс]] [[Квадратный паркет|Квадратная мозаика]] на евклидовой плоскости имеет 4 квадратных ''грани'' на каждую вершину.
|[[Файл:H2-5-4-primal.svg|100x100пкс]] [[Порядок-5 квадратная плитка|Квадратная мозаика пятого порядка]] имеет 5 квадратных ''граней'' на вершину.
|[[Файл:Hypercube.svg|109x109пкс]] [[Тессеракт]] имеет 3 квадратных ''грани'' у каждого ребра.
|}</center>

=== Количество многоугольных граней многогранника ===
Поверхность любого [[выпуклый политоп|выпуклого многогранника]] имеет [[Эйлерова характеристика|эйлерову характеристику]]

: <math>V - E + F = 2,</math>

где ''V'' — количество [[Вершина (геометрия)|вершин]], ''E'' — количество [[Ребро (геометрия)|ребер]], а ''F'' — количество граней. Это уравнение известно как [[Эйлерова характеристика|формула многогранника Эйлера]]. Таким образом, количество граней на 2 больше, чем разность количества ребер и количества вершин. Например, у [[куб]]а 12 ребер и 8 вершин, а значит, 6 граней.

== ''k''-мерная грань ==
В многомерной геометрии грани [[политоп]]а являются элементами всех измерений.<ref name="Matoušek">{{Citation|title=Lectures in Discrete Geometry|url=https://books.google.com/books?id=0N5RVe5lKQUC&pg=PA86|at=5.3 Faces of a Convex Polytope, p. 86|volume=212|series=[[Graduate Texts in Mathematics]]|publisher=Springer|year=2002|author-link=Jiří Matoušek (mathematician)|first=Jiří |last=Matoušek|isbn=9780387953748}}</ref>{{sfn|Grünbaum|2003}}{{sfn|Ziegler|1995|loc=Definition 2.1, [https://books.google.com/books?id=xd25TXSSUcgC&pg=PA51 p. 51]}}</ref> Грань размерности ''k'' называется ''k-''мерной гранью. Например, многоугольные грани обычного многогранника являются 2-мерными гранями. В [[Теория множеств|теории множеств]] набор граней многогранника включает в себя сам многогранник и [[пустое множество]], где пустое множество для согласованности имеет «размерность» -1. Для любого ''[[политоп]]а'' (''n''-мерного многогранника), −1 ≤ ''k'' ≤ ''n''.

Например, в этом значении грани [[куб]]а включают в себя сам куб(3-мерная грань), его (квадратные) грани, (линейные) ребра (1-мерные грани), (точечные) вершины (0-мерные грани) и пустое множество. Ниже приведены '''грани''' [[Четырёхмерный многогранник|4-мерного многогранника]]:

* 4-мерная грань - сам [[Четырёхмерный многогранник|4-мерный многогранник]]
* 3-мерные грани - 3-мерные ячейки ([[многогранник]]и)
* 2-мерные грани — 2-мерные ребра ([[многоугольник]]и)
* 1-мерные грани – 1-мерные [[Ребро (геометрия)|ребра]]
* 0-мерные грани - 0-мерные [[Вершина (геометрия)|вершины]]
* пустое множество, имеющее размерность −1

В некоторых областях математики, таких как [[комбинаторика многогранников]], многогранник по определению выпуклый. Формально грань многогранника ''P'' есть пересечение ''P'' с любым [[Замкнутое множество|замкнутым]] [[полупространство]]м, граница которого не пересекается с внутренней частью ''P''.<ref>{{Harvtxt|Matoušek|2002}} and {{Harvtxt|Ziegler|1995}} use a slightly different but equivalent definition, which amounts to intersecting ''P'' with either a hyperplane disjoint from the interior of ''P'' or the whole space.</ref> Из этого определения следует, что множество граней многогранника включает в себя сам многогранник и пустое множество.<ref name="автоссылка3">{{Citation|title=Convex Polytopes|first=Branko|last=Grünbaum|author-link=Branko Grünbaum|page=[https://books.google.com/books?id=ISHO86XJ1CsC&pg=PA17 17]|volume=221|edition=2nd|series=Graduate Texts in Mathematics|publisher=[[Springer Science+Business Media|Springer]]|year=2003}}</ref><ref name="автоссылка4">{{Citation|first=Günter M.|last=Ziegler|author-link=Günter M. Ziegler|title=Lectures on Polytopes|url=https://books.google.com/books?id=xd25TXSSUcgC&pg=PA51|volume=152|series=Graduate Texts in Mathematics|publisher=[[Springer Science+Business Media|Springer]]|year=1995|isbn=9780387943657}}</ref>

В других областях математики, таких как теории [[Абстрактный многогранник|абстрактных многогранников]] и [[Звёздчатый многогранник|звездчатых многогранников]], требование выпуклости ослаблено. Абстрактная теория по-прежнему требует, чтобы множество граней включало в себя сам [[политоп]] и пустое множество.

=== Ячейка или трехмерная грань ===
'''Ячейка''' — это [[Многогранник|многогранный]] элемент ('''трехмерная''' '''грань''') 4-мерного многогранника или 3-мерной мозаики или фигуры более высокой размерности. Ячейки являются [[Фасета (геометрия)|гранями]] для четырёхмерных [[политоп]]ов и трехмерных мазаик.
<center>
{| class="wikitable" width="640"
|+Стандартные примеры по [[Символ Шлефли|символу Шлефли]]
! colspan="2" | четырёхмерные политопы
! colspan="2" | 3-мерные мозаики
|- align="center"
! [[Тессеракт|{4,3,3}]]
! [[Стодвадцатиячейник|{5,3,3}]]
! {4,3,4}
! [[Додекаэдральные соты порядка 4|{5,3,4}]]
|- align="center" valign="top"
|[[Файл:Hypercube.svg|130x130пкс]] [[Тессеракт]] имеет 3 кубические ячейки на ребро.
|[[Файл:Schlegel_wireframe_120-cell.png|120x120пкс]] [[Стодвадцатиячейник|120-ячейник]] имеет 3 [[Двенадцатигранники|додекаэдрические]] ячейки на ребро.
|[[Файл:Partial_cubic_honeycomb.png|120x120пкс]] Кубическая мозаика заполняет евклидово 3-мерное пространство кубами с 4 ячейками на каждом ребре.
|[[Файл:Hyperbolic_orthogonal_dodecahedral_honeycomb.png|120x120пкс]] [[Додекаэдральные соты порядка 4|Додекаэдрические соты 4 порядка]] заполняют трехмерное гиперболическое пространство додекаэдрами, по 4 ячейки на ребро.
|}</center>

=== [[Фасета]] или (''n'' − 1)-мерная грань ===
В многомерной геометрии '''Фасетами''' (также называемыми '''гипергранями''')<ref>[[Джонсон, Норман|N.W. Johnson]]: ''Geometries and Transformations'', (2018) {{ISBN|978-1-107-10340-5}} Chapter 11: ''Finite symmetry groups'', 11.1 Polytopes and Honeycombs, p.225</ref> ''n''-мерного [[политоп]]а являются (''n'' -1)-грани (грани размерности на единицу меньше, чем сам многогранник).<ref>{{Harvtxt|Matoušek|2002}}, p. 87; {{Harvtxt|Grünbaum|2003}}, p. 27; {{Harvtxt|Ziegler|1995}}, p. 17.</ref> Многогранник ограничен своими гранями.

Например:

* Фасетами [[Отрезок|отрезка]] являются его 0-мерные грани - [[Вершина (геометрия)|вершины]].
* Фасетами [[многоугольник]]а являются его 1-мерные грани или [[Ребро (геометрия)|ребра]].
* Фасеты [[многогранник]]а или [[Однородная мозаика|мозаики]] плоскости являются их 2-мерные грани.
* Грани [[Четырёхмерный многогранник|четырехмерного многогранника]] или трехмерной мозаики являются их 3-мерными гранями или ячейками.
* Гранями [[Пятимерный многогранник|пятимерного многогранника]] или 4-мерной мозаики являются их 4-мерные грани.

== Комментарии ==
{{комментарии}}

== Примечания ==
{{Примечания}}

[[Категория:Многогранники]]
[[Категория:Выпуклая геометрия]]
[[Категория:Элементарная геометрия]]