Просмотр кода страницы P-адическое число

{{DISPLAYTITLE:''p''-адическое число}}
'''{{mvar|p}}-адическое число'''<ref>Произносится: ''пэ-адическое''; соответственно: ''два-адическое'', ''три-адическое'' и т. п.</ref> — [[Теория чисел|теоретико-числовое]] понятие, определяемое для заданного фиксированного [[простое число|простого числа]] {{mvar|p}} как элемент [[Расширение поля|расширения поля]] [[Рациональное число|рациональных чисел]]. Это расширение является [[Фундаментальная последовательность|пополнением]] поля рациональных чисел относительно {{mvar|p}}-адической [[Нормирование (алгебра)|нормы]], определяемой на основе свойств [[Делимость|делимости]] целых чисел на {{mvar|p}}.

{{mvar|p}}-адические числа были введены [[Гензель, Курт|Куртом Гензелем]] в [[1897 год в науке|1897 году]]<ref>{{статья |автор = Kurt Hensel. |заглавие = Über eine neue Begründung der Theorie der algebraischen Zahlen | издание = [http://www.digizeitschriften.de/resolveppn/PPN37721857X&L=2 Jahresbericht der Deutschen Mathematiker-Vereinigung] |том=6 |год=1897 |номер=3 |страницы = 83—88 |ссылка = http://www.digizeitschriften.de/resolveppn/GDZPPN00211612X&L=2}}{{ref-de}}</ref>.

Поле {{mvar|p}}-адических чисел обычно обозначается <math>\mathbb Q_p</math> или <math>\mathbf Q_p</math>.

== Алгебраическое построение ==

=== Целые {{mvar|p}}-адические числа ===

==== Стандартное определение ====
Целым {{mvar|p}}-адическим числом для заданного [[Простое число|простого]] {{mvar|p}} называется{{sfn |Боревич З. И., Шафаревич И. Р. Теория чисел|1985|с=25—28. }} бесконечная последовательность <math>x=\{x_1,x_2,\ldots\}</math> [[Класс вычетов|вычетов]] <math>x_n</math> по модулю <math>p^{n}</math>, удовлетворяющих условию:
: <math>x_n\equiv x_{n+1}\pmod{p^n}.</math>

Сложение и умножение целых {{mvar|p}}-адических чисел определяется как почленное сложение и умножение таких последовательностей. Для них непосредственно проверяются все аксиомы [[Кольцо (математика)|кольца]]. Кольцо целых {{mvar|p}}-адических чисел обычно обозначается <math>\mathbb{Z}_p</math>.

==== Определение через проективный предел ====
В терминах [[Проективный предел|проективных пределов]] кольцо целых <math>p</math>-адических чисел определяется как предел
: <math>\lim_{\leftarrow}\mathbb{Z} / {p^n}\mathbb{Z}</math>
колец <math>\mathbb{Z} / {p^n}\mathbb{Z}</math> вычетов по модулю <math>p^n</math> относительно естественных проекций <math>\mathbb{Z}/{p^{n+1}}\mathbb{Z} \to \mathbb{Z}/{p^n}\mathbb{Z}</math>.

Эти рассмотрения можно провести в случае не только простого числа <math>p</math>, но и любого составного числа <math>m</math> — получится т. н. кольцо <math>m</math>-адических чисел, но это кольцо в отличие от <math>\mathbb{Z}_p</math> обладает [[Делитель нуля|делителями нуля]], поэтому дальнейшие построения, рассматриваемые ниже, к нему неприменимы.

==== Свойства ====
Обычные целые числа вкладываются в <math>\mathbb{Z}_p</math> очевидным образом: <math>x=\{x,x,\ldots\}</math> и являются подкольцом.

[[Файл:P adic arithm.gif|300px|thumb|Пример выполнения арифметических операций над 5-адическими числами.]]

Беря в качестве элемента класса вычетов число <math>a_n = x_n\,\bmod\,{p^n}</math> (таким образом, <math>0\le a_n<p^n</math>), мы можем записать каждое целое {{mvar|p}}-адическое число в виде <math>x=\{a_1,a_2,\ldots\}</math> однозначным образом. Такое представление называется ''каноническим''. Записывая каждое <math>a_n</math> в [[позиционная система счисления|{{mvar|p}}-ичной системе счисления]] <math>a_n=b_n\ldots b_2b_1</math> и, учитывая, что <math>a_n\equiv a_{n+1}\pmod{p^n}</math>, возможно всякое {{mvar|p}}-адическое число в каноническом виде представить в виде <math>x=\{b_1, b_2b_1, b_3b_2b_1,\ldots\}</math> или записать в виде бесконечной последовательности цифр в {{mvar|p}}-ичной системе счисления <math>x=\{\ldots b_n\ldots b_2b_1\}</math>. Действия над такими последовательностями производятся по обыкновенным правилам сложения, вычитания и умножения «столбиком» в {{mvar|p}}-ичной системе счисления.

В такой форме записи натуральным числам и нулю соответствуют {{mvar|p}}-адические числа с конечным числом ненулевых цифр, совпадающих с цифрами исходного числа. Отрицательным числам соответствуют {{mvar|p}}-адические числа с бесконечным числом ненулевых цифр, например в пятеричной системе −1=…4444=(4).

=== {{mvar|p}}-адические числа ===

==== Определение как поля частных ====
{{mvar|p}}-адическим числом называется элемент [[Кольцо частных|поля частных]] <math>\mathbb{Q}_p</math> кольца <math>\mathbb{Z}_p</math> целых {{mvar|p}}-адических чисел.
Это поле называется полем {{mvar|p}}-адических чисел.

==== Свойства ====
Поле {{mvar|p}}-адических чисел содержит в себе поле [[Рациональное число|рациональных чисел]].

[[Файл:P_adic_division.gif|250px|thumb|Пример выполнения деления 5-адических чисел.]]

Нетрудно доказать, что любое целое {{mvar|p}}-адическое число, не кратное {{mvar|p}}, обратимо в кольце <math>\mathbb{Z}_p</math>, а кратное {{mvar|p}} однозначно записывается в виде <math>xp^n</math>, где {{mvar|x}} не кратно {{mvar|p}} и поэтому обратимо, а <math>n>0</math>. Поэтому любой ненулевой элемент поля <math>\mathbb{Q}_p</math> может быть записан в виде <math>xp^n</math>, где {{mvar|x}} не кратно {{mvar|p}}, а {{mvar|n}} любое; если {{mvar|n}} отрицательно, то, исходя из представления целых {{mvar|p}}-адических чисел в виде последовательности цифр в {{mvar|p}}-ичной системе счисления, мы можем записать такое {{mvar|p}}-адическое число в виде последовательности <math>x=\{\ldots b_k\ldots b_2b_1,b_0b_{-1}\ldots b_{n+1}\}</math>, то есть, формально представить в виде {{mvar|p}}-ичной дроби с конечным числом цифр после запятой и, возможно, бесконечным числом ненулевых цифр до запятой. Деление таких чисел можно также производить аналогично «школьному» правилу, но начиная с младших, а не старших разрядов числа.

== Метрическое построение ==
Любое рациональное число <math>r</math> можно представить как <math>r=p^n\frac ab</math> где <math>a</math> и <math>b</math> целые числа, не делящиеся на <math>p</math>, а <math>n</math> — целое.
Тогда <math>|r|_p</math> — <math>p</math>-адическая [[Нормирование (алгебра)|норма]] <math>r</math> — определяется как <math>p^{-n}</math>.
Если <math>r=0</math>, то <math>|r|_p=0</math>.

Поле <math>p</math>-адических чисел есть [[Фундаментальная последовательность|пополнение]] поля рациональных чисел с метрикой <math>d_p</math>, определённой <math>p</math>-адической нормой: <math>d_p(x,y)=|x-y|_p</math>.
Это построение аналогично построению поля [[Вещественное число|вещественных чисел]] как пополнения поля рациональных чисел при помощи нормы, являющейся обычной [[Абсолютная величина|абсолютной величиной]].

Норма <math>|r|_p</math> продолжается по непрерывности до нормы на <math>\mathbb{Q}_p</math>.

== Свойства ==
* Каждый элемент {{mvar|x}} поля {{mvar|p}}-адических чисел может быть представлен в виде сходящегося ряда
:: <math>x=\sum_{i=n_0}^\infty a_ip^i</math>
: где <math>n_0</math> — некоторое целое число, а <math>a_i</math> — целые неотрицательные числа, не превосходящие <math>p-1</math>. А именно, в качестве <math>a_i</math> здесь выступают цифры из записи {{mvar|x}} в системе счисления с основанием {{mvar|p}}. Такая сумма всегда сходится в метрике <math>d_p</math> к самому <math>x</math>.
* {{mvar|p}}-адическая норма <math>|x|_p</math> удовлетворяет [[Ультраметрическое пространство|сильному неравенству треугольника]]
:: <math>|x-z|_p\le\max\left\{|x-y|_p,|y-z|_p\right\}.</math>
:* Числа <math>x\in \mathbb Q_p</math> с условием <math>|x|_p\le 1</math> образуют кольцо <math>\mathbb{Z}_p</math> целых {{mvar|p}}-адических чисел, являющееся пополнением кольца целых чисел <math>\mathbb{Z}\subset \mathbb{Q}</math> в норме <math>|x|_p</math>.
:* Числа <math>x\in \mathbb{Q}_p</math> с условием <math>|x|_p= 1</math> образуют мультипликативную группу и называются {{mvar|p}}-адическими единицами.
:* Совокупность чисел <math>x\in \mathbb{Q}_p</math> с условием <math>|x|_p<1</math> является главным идеалом в <math>\mathbb{Z}_p</math> с образующим элементом {{mvar|p}}.
* [[Метрическое пространство]] <math>(\mathbb{Z}_p,d_p)</math> [[Гомеоморфизм|гомеоморфно]] [[Канторово множество|канторову множеству]], а пространство <math>(\mathbb{Q}_p,d_p)</math> гомеоморфно канторову множеству с вырезанной точкой.
* Для различных {{mvar|p}} нормы <math>|x|_p</math> независимы, а поля <math>\mathbb{Q}_p</math> неизоморфны.
* Для любых элементов <math>r_\infty</math>, <math>r_2</math>, <math>r_3</math>, <math>r_5</math>, <math>r_7</math>, … таких, что <math>r_\infty \in \mathbb R</math> и <math>r_p\in \mathbb Q_p</math>, можно найти последовательность рациональных чисел <math>x_n</math> таких, что для любого {{mvar|p}} выполнено <math>|x_i-r_p|_p\to 0</math> и <math>|x_i-r_\infty|\to 0</math>.

== Применения ==
* Если <math>F(x_1,x_2,\ldots,x_n)</math> — многочлен с целыми коэффициентами, то разрешимость при всех <math>k</math> сравнения
:: <math>F(x_1,x_2,\cdots,x_n)\equiv 0 \pmod{p^k}</math>
: эквивалентна разрешимости уравнения
:: <math>F(x_1,x_2,\cdots,x_n) = 0</math>
: в целых <math>p</math>-адических числах. Необходимым условием разрешимости этого уравнения в целых или рациональных числах является его разрешимость в кольцах или, соответственно, полях <math>p</math>-адических чисел при всех <math>p</math>, а также в поле вещественных чисел. Для некоторых классов многочленов (например, для квадратичных форм) это условие является также достаточным.

: На практике для проверки разрешимости уравнения в целых <math>p</math>-адических числах достаточно проверить разрешимость указанного сравнения для определенного конечного числа значений <math>k</math>. Например, согласно [[Лемма Гензеля|лемме Гензеля]], при <math>n=1</math> достаточным условием для разрешимости сравнения при всех натуральных <math>k</math> служит наличие простого решения у сравнения по модулю <math>p</math> (то есть, простого корня у соответствующего уравнения в поле вычетов по модулю <math>p</math>). Иначе говоря, при <math>n=1</math> для проверки наличия корня у уравнения в целых <math>p</math>-адических числах, как правило, достаточно решить соответствующее сравнение при <math>k=1</math>.

* <math>p</math>-адические числа находят широкое применение в теоретической физике<ref>[[Владимиров, Василий Сергеевич|Vladimiriv V. S.]], Volovich I. V., Zelenov E. I. P-adic analysis and mathematical physics // Singapure: World Sci., 1993</ref>. Известны <math>p</math>-адические обобщённые функции<ref>[[Владимиров, Василий Сергеевич|Владимиров В. С.]] [http://mi.mathnet.ru/umn1967 «Обобщённые функции над полем p-адических чисел»] // [[УМН]], 1988, т. 43 (5), с. 17-53</ref>, p-адический аналог оператора дифференцирования (оператор Владимирова)<ref>[[Владимиров, Василий Сергеевич|Владимиров В. С.]] О спектральных свойствах p-адических псевдодифференциальных операторов типа Шредингера // Изв. РАН, Сер. мат., 1992, т. 56, с. 770—789</ref>, p-адическая квантовая механика<ref> [[Владимиров, Василий Сергеевич|Vladimiriv V. S.]], Volovich I. V. P-adic quantum mechanics // Commun. Math. Phys., 1989, vol. 123, P. 659—676 </ref><ref>[[Владимиров, Василий Сергеевич|Vladimiriv V. S.]], Volovich I. V. P-adic Schrodinger-type equation // Lett. Math. Phys., 1989, vol. 18, P. 43-53</ref>, p-адическая спектральная теория<ref>[[Владимиров, Василий Сергеевич|Владимиров В. С.]], Волович И. В., Зеленов Е. И. Спектральная теория в p-адической квантовой механике и теория представлений // Изв. АН СССР, т. 54 (2), с. 275—302, (1990) </ref>, p-адическая теория струн<ref>Volovich I. V. P-adic string // Class. Quant. Grav., 1987, vol. 4, P. L83-L84 </ref><ref>''Frampton P. H.'' Retrospective on p-adic string theory // Труды математического института имени В. А. Стеклова. Сборник, № 203 — М.: Наука, 1994. — isbn 5-02-007023-8 — С. 287—291.</ref>

== См. также ==
*[[Автоморфное число]]
* [[Локальное поле]]

== Примечания ==
{{примечания}}

== Литература ==
* {{книга |автор=Боревич З. И., Шафаревич И. Р. |заглавие=Теория чисел
  |место=М. |издательство=Наука |год=1985 |ref=Боревич З. И., Шафаревич И. Р. Теория чисел }}
* ''Коблиц Н.'' р-адические числа, р-адический анализ и дзета-функции, — {{М}}: Мир, 1982.
* ''{{nobr|Серр Ж.-П.}}'' Курс арифметики, — {{М}}: Мир, 1972.
* {{статья
 | автор = Беккер Б., Востоков С., Ионин Ю.
 | заглавие = 2-адические числа
 | издание = [[Квант (журнал)|Квант]]
 | номер = 2
 | год = 1979
 | страницы = 26—31
 | ссылка = http://kvant.mccme.ru/1979/02/2--adicheskie_chisla.htm
}}
* ''Конрад К.'' [http://www.mathnet.ru/present9425 Введение в p-адические числа] Летняя школа «Современная математика», 2014 г. Дубна

{{Числа}}

[[Категория:Теория чисел]]
[[Категория:Числа]]
[[Категория:1897 год в науке]]