Просмотр кода страницы SO(8)

{{DISPLAYTITLE:''SO''(8)}}
'''''SO''(8)''' — [[Ортогональная группа|специальная ортогональная группа]] восьмимерного [[Евклидово пространство|евклидова пространства]].

== Свойства ==
* ''SO''(8) — вещественная [[простая группа Ли]] ранга 4 и размерности 28.
* ''SO''(8), как и все специальные ортогональные группы при <math>n > 2</math>, [[Односвязное пространство|неодносвязна]], и её [[фундаментальная группа]] [[Изоморфизм|изоморфна]] [[Циклическая группа|'''Z'''<sub>2</sub>]].
** [[универсальное накрытие]] SO(8) — [[спинорная группа]] '''Spin(8)'''.
* [[Центр группы|центр]] SO(8) изоморфен '''Z'''<sub>2</sub>, он включает две матрицы {±I} (как и для ''SO''(n) при 2''n'' > 2).
** Центр Spin(8) изоморфен '''Z'''<sub>2</sub>×'''Z'''<sub>2</sub> (как и для всех Spin(4''n''), 4''n'' > 0).

[[Файл:Dynkin_diagram_D4.png|мини|[[Диаграмма Дынкина]] SO(8), (D<sub>4</sub>)]]
* ''SO''(8) занимает особое место среди [[Простая группа Ли|простых групп Ли]], поскольку её [[диаграмма Дынкина]] (смотри рисунок) (D<sub>4</sub>) имеет трёхкратные [[Симметрия|симметрии]]. В этом причина особенного свойства Spin(8), известного как тройственность. С этим связаны, например, такие факты:
** Два [[спинор]]ных [[Представление группы|представления]], а также [[Фундаментальное представление|фундаментальное]] векторное представление Spin(8) — восьмимерные (для всех других Spin-групп спинорные представления имеет размерность либо большую, либо меньшую, чем векторное).
** Тройственный [[автоморфизм]] Spin(8) — группа внешних автоморфизмов Spin(8) изоморфна [[Симметрическая группа|симметрической группы]] S<sub>3</sub>, она переставляет эти три представления.
** Группа автоморфизмов действует на центре '''Z'''<sub>2</sub> х '''Z'''<sub>2</sub> (который также имеет группу автоморфизмов, изоморфную ''S''<sub>3</sub>, которые могут также рассматриваться как [[Полная линейная группа|общая линейная группа]] над конечным полем из двух элементов, ''S''<sub>3</sub> ≅GL(2,2)).
* [[Группа Вейля]] SO(8) имеет 4[[факториал|!]]×8=192 элементов.
* [[Система корней]] SO(8):
*: <math>(\pm 1,0,0,\pm 1)</math>
*: <math>(0,\pm 1,\pm 1,0)</math>
*: <math>(0,\pm 1,0,\pm 1)</math>
*: <math>(0,0,\pm 1,\pm 1)</math>
*: <math>(0,\pm 1,0,\pm 1)</math>
*: <math>(0,0,\pm 1,\pm 1)</math>

* [[Матрица Картана]] SO(8):
*: <math>
\begin{pmatrix}
2  & -1 & -1 & -1\\
-1 &  2 &  0 &  0\\
-1 &  0 &  2 &  0\\
-1 &  0 &  0 &  2
\end{pmatrix}
</math>

== Вариации и обобщения ==
Иногда Spin(8) появляется естественно в «расширенном» виде, в качестве группы автоморфизмов Spin(8), которая представляется как [[полупрямое произведение]]: Aut((Spin(8)) ≅ Spin(8) ⋊ ''S''<sub>3</sub>.

== См. также ==
* [[Октонионы]]
* [[алгебра Клиффорда]]

== Ссылки ==
* {{Citation|title=Lectures on exceptional Lie groups|year=1996|last=Adams|first=J.F.|series=Chicago Lectures in Mathematics|publisher=University of Chicago Press|ISBN=0-226-00526-7}}
* {{Citation|title=The algebraic theory of spinors and Clifford algebras|year=1997|last=Chevalley|first=Claude|series=Collected works|volume=2|publisher=Springer-Verlag|ISBN=3-540-57063-2}} (originally published in 1954 by Columbia University Press)
* {{Citation|title=Clifford algebras and the classical groups|year=1995|last=Porteous|first=Ian R.|series=Cambridge Studies in Advanced Mathematics|volume=50|publisher=[[Cambridge University Press]]|isbn=0-521-55177-3|ISBN=0-521-55177-3}}

[[Категория:Группы Ли]]