Просмотр кода страницы Z-оценка

{{rq|wikify|style|sources|img}}

{{перевести|en|Standard score}}
'''Стандартизированная оценка''' ('''z-оценка,'''  ''англ. : '''Standard score, z-score''''') -  это мера относительного разброса  наблюдаемого или измеренного значения, которая показывает, сколько [[Среднеквадратическое отклонение|стандартных отклонений]] составляет его разброс относительного [[Среднее арифметическое|среднего значения]]. Это безразмерный  статистический показатель, используемый для сравнения значений  разной размерности или шкалой измерений.

== Основные сведения ==
В теории вероятности и статистике, стандартизованная случайная величина<ref>ГОСТ Р 50779.10-2000 (ИСО 3534.1-93) Статистические методы. Вероятность и основы статистики. Термины и определения</ref> - это [[случайная величина]], [[математическое ожидание]] которой равно нулю, а [[Среднеквадратическое отклонение|стандартное отклонение]] - единице. Любая [[случайная величина]] '''''x''''' с [[Математическое ожидание|математическим ожиданием]]  <math>\mu</math> и стандартным отклонением <math>\sigma</math>  может быть приведена к стандартизованной случайной величине  <math>z </math> по формуле: <math>{x- \mu \over \sigma}</math>. Это преобразование включает центрирование случайной величины (разность <math>{(x- \mu)}</math> между данной случайной величиной '''''x''''' и ее математическим ожиданием <math>\mu</math>) и нормирование (отношение <math>{x\over \sigma}</math> данной случайной величины '''''x''''' к ее стандартному отклонению <math>\sigma</math> ). [[Распределение вероятностей|Распределение]] стандартизованной нормальной случайной величины <math>z </math> называется стандартным нормальным распределением <math>N(0,1)</math> с функцией плотности <math>f(z)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\exp\left ( \frac{-z^2}{2} \right )</math>. 

Понятие стандартизованной случайной величины является частным случаем приведенной случайной величины, определяемой относительного  центрального значения и параметра масштаба, отличных от математического ожидания и стандартного отклонения. 

В практических задачах, любое множество данных <math>x_i</math> со средним значением <math>\bar{X}</math> и стандартным отклонением <math>S</math> можно преобразовать в другое множество со средним <math>0</math> и стандартным отклонением <math>1</math> таким образом, что преобразованные значения <math>z </math> будут непосредственно выражаться в отклонениях исходных значений от среднего, измеренных в единицах стандартного отклонения. 

Принадлежность z-оценок стандартному нормальному распределению <math>N(0,1)</math>, обеспечивает возможность применения z-оценок для сравнения неоднородных значений первичных измерений. Большинство статистических методов основываются на предположении о нормальности распределения данных, поэтому применение z-оценок совместно с  трансформацией к нормальности значительно расширяет возможности для дальнейшего анализа и исследований. 

== Способ расчёта ==
Стандартизованная оценка величины <math>x</math> рассчитывается по формуле<ref>{{Книга|автор=Мелник М.|заглавие=Основы прикладной статистики|ответственный=|издание=|место=Москва|издательство=Энергоатомиздат|год=1983|страницы=|страниц=416|isbn=|isbn2=}}</ref>:

:<math>z={x- \bar{X} \over S_x}</math>

где <math>\bar{X}</math> -  [[Среднее арифметическое|среднее значение]], <math>S_x</math> - [[Среднеквадратическое отклонение|стандартное отклонение]] вычисленные для множества данных <math>xi</math>.

Значения <math>\bar{X}</math> и <math>S_x</math> могут быть вычислены по выборочным данным, или получены в [[Генеральная совокупность|генеральной совокупности]], или установлены для  некоторой [[Популяция|популяции]].
: 

== Интерпретация ==
Абсолютное значение ''z'' представляет собой оценку (в единицах стандартного отклонения) расстояния между ''x'' и его средним значением ''μ'' в общей совокупности. Если ''z'' меньше нуля, то ''x'' ниже средней, если ''z'' больше нуля, то ''x'' расположен выше средней ''μ''.

Значения <math>z </math> не только удобное средство информации о положении некоторого значения, связанного со средним и измеренного в единицах стандартного отклонения, но и шаг вперед к преобразованию множества  <math>xi</math> в произвольную шкалу с удобными характеристиками среднего и стандартного отклонения.

== Процентильный эквивалент z-оценок ==
[[Файл:Процентили и z.gif|мини|
соответствие z-оценок и процентилей
]]
Поскольку распределение z-оценок аппроксимируется стандартным нормальным распределением, то  существует однозначное соответствие процентилей (квантилей порядка q) и значений z. Это позволяет однозначно переводить шкалу ранговых градаций или баллов в значения z-оценки и обратно (так значению z=-3 соответствует 0,13 процентиль, z=- 2 <math>\Rightarrow</math> 2,3-й процентиль, z=-1 <math>\Rightarrow</math>15,9-й процентиль и т.д.).

== Практическое применение ==
Существует множество шкал измерения с произвольными средними и стандартными отклонениями, которые распространены в общественных науках.

==== Педагогика и психология ====
Распространены шкальные оценки, когда оценки результатов теста устанавливаются на основе его места на специальной шкале, которая содержит данные о внутригрупповых нормах выполнения теста. Оценки интеллектуального теста часто преобразуются в шкалу со средним 100 и стандартным отклонением 15 или 16. Значения <math>T</math>- показателя<ref>{{Книга|автор=Дж. Гласс, Дж. Стэнли|заглавие=Статистические методы в педагогике и психологии|ответственный=|издание=|место=|издательство=Прогресс|год=1976|страницы=|страниц=496|isbn=|isbn2=}}</ref>, вычисленные как <math>10z+50</math> имеют широкое применение.
[[Файл:Normal distribution and scales.gif|мини|
нормальная кривая, процентили и стандартные оценки в различных шкалах
]]
Другим примером нелинейного преобразования в стандартную шкалу являются [[станайн]]ы (англ. standart nine), когда первичные показатели ранжируют по возрастанию и делят на группы с числом, пропорциональным определённым частотам оценок нормальном распределении, получаемые оценки принимают значения от 1 до 9 (<math>\mu</math>=5, <math>\sigma</math>=2). Существует много шкал, опирающихся на стандартизованные оценки.

==== Педиатрия ====
Для описания характеристик пациентов с учетом их неоднородности используется нормирование. В педиатрической практике был распространен коэффициент стандартного отклонения (sds – standard deviation score), который вычисляется <math>{x- \bar{X} \over S_x}</math> на основе выборочного среднего значения <math>\bar{X}</math> и стандартного отклонения  <math>S_x</math> справочных показателей ребенка данного пола и возраста<ref>{{Книга|автор=Вельтищев Ю. Е.|заглавие=Объективные  показатели нормального развития и состояния здоровья ребенка (нормативы детского возраста)|ответственный=|издание=|место=|издательство=Москва|год=2002|страницы=96|страниц=|isbn=|isbn2=НЛА 575/БН2-25072017/89}}</ref>.  Отклонение распределений показателей физического развития  от нормального привело к использованию центрирования измеренных значений медианой вместо среднего <math>{x-Me \over Pr90 - Pr10}</math>, где  <math>Me</math> – медиана и <math>Pr10, Pr90</math> - 10-й и 90-й  процентиль справочного показателя ребенка того же пола и возраста. 

Необходимость учета формы распределений показателей физического развития<ref>{{Статья|автор=Borghi E.|заглавие=Construction of the World Health Organization child growth standards: selection of methods for attained growth curves|ссылка=|язык=|издание=Statistics in Medicine|тип=|год=2006|месяц=|число=|том=25|номер=|страницы=247–265|issn=}}</ref>, привела к применению z-оценки вычисляемой как

<math>z = \begin{cases} \frac{(y/M)^L-1)}{L\ S}, & \text{если }L\neq0 \\ \frac{1}{S}ln(y/M), & \text{ если }L=0 \end{cases}</math>

где y – измеренное значение показателя, <math>L</math> – коэффициент трансформации Бокса-Кокса к нормальности, <math>M</math> - медиана, <math>S</math> – коэффициент вариации справочного или стандартного показателя ребенка того же пола и возраста.

В современных методических рекомендация ВОЗ представлены стандартные и справочные значения коэффициентов L, M, S для исследования физического развития детей<ref>{{Cite web|url=http://www.who.int/childgrowth/ru/|title=Разработанные ВОЗ нормы роста детей|author=|website=World Health Organization|date=|publisher=|access-date=2017-10-23|archive-date=2017-10-22|archive-url=https://web.archive.org/web/20171022130857/http://who.int/childgrowth/ru/|deadlink=no}}</ref> и разработано программное обеспечение WHO ANTHROPlus<ref>{{Cite web|url=http://www.who.int/childgrowth/software/ru/|title=Программное средство ВОЗ Anthro для персональных компьютеров|author=|website=WHO Child Growth Standards|date=|publisher=|access-date=2017-10-23|archive-date=2017-10-21|archive-url=https://web.archive.org/web/20171021000337/http://www.who.int/childgrowth/software/ru/|deadlink=no}}</ref> для работы с ними.

== См. также ==
* [[Вариация (статистика)]]

== Примечания ==
{{примечания}}

[[Категория:Статистика]]
[[Категория:Преобразования]]