Подстановки Эйлера

Подстановки Эйлера — подстановки, приводящие интегралы вида $\int R(x,\sqrt{a{x}^2+bx+c})dx$, где $R(x,\sqrt{a{x}^2+bx+c})$ — рациональная функция, к интегралам от рациональных функций. Предложены Л. Эйлером в 1768 году.

Подстановки

Первая подстановка

Используется тогда, когда $a>0$ . Производится замена:
$\sqrt{a{x}^2+bx+c}=\pm t\pm \sqrt{a}x$

Вторая подстановка

Используется тогда, когда $c>0$ . Производится замена:
$\sqrt{a{x}^2+bx+c}=\pm xt\pm \sqrt{c}$

Третья подстановка

Используется тогда, когда подкоренное выражение имеет два действительных корня. Производится замена:
$\sqrt{a{x}^2+bx+c}=\pm t(x-\lambda )$ , где $\lambda$ — один из корней.

Интересные факты

По воспоминаниям ученика Ландау А. И. Ахиезера, тот крайне негативно относился к использованию данных подстановок: Шаблон:Начало цитаты<…> он [Ландау] предложил мне вычислить <…> интеграл от рациональной дроби. <…> я вычислил, не используя стандартных подстановок Эйлера, и это меня спасло, ибо, как я понял впоследствии, Ландау не терпел их и считал, что каждый раз нужно использовать какой-нибудь искусственный прием, что собственно, я и сделал. Шаблон:Конец цитаты

Ссылки

• Шаблон:Книга
• Пример использования подстановок Эйлера на PlanetMath(англ.)