Стандартное отображение

Стандартное отображение (Шаблон:Lang-en), известное также как стандартное отображение Чирикова (Шаблон:Lang-en) и отображение Чирикова — Тейлора (Шаблон:Lang-en) — нелинейное отображение (сохраняющее объём) для двух канонических переменных, $(p,x)$ (импульса и координаты). Отображение известно своими хаотическими свойствами, которые впервые были исследованы Борисом Чириковым в 1969 году.

Отображение задается такими итерационными уравнениями:

$\begin{array}{c}{p}_{n+1}=p_n+K\sin x_n,\\ x_{n+1}=x_n+p_{n+1},\end{array}$

где параметр $K$ контролирует хаотичность системы.

Модель ротатора

Стандартное отображение описывает движение классического ротатора — фиксированного стержня, на который не действует сила тяжести и который вращается без трения в плоскости вокруг оси, проходящей через один из его концов. Ротатор также испытывает вызванные внешней силой периодические во времени (с периодом единица) удары бесконечно короткой продолжительности. Переменные $x_n$ и $p_n$ соответствуют углу поворота ротатора и его угловому моменту после $n$-го удара. Параметр $K$ описывает силу удара. Функция Гамильтона ротатора может быть записана так:

$H=\frac{p^2}{2}+K{\delta }_{Per}(t)\cos x,$

где функция ${\delta }_{Per}(t)$ — периодическая функция с периодом 1, на одном периоде совпадает с δ-функцией Дирака. Из вышеприведенной функции Гамильтона элементарно получается стандартное отображение.

Свойства

Рис. 1. $K=0,6$

Рис. 2. $K=0,971635$

Рис. 3. $K=1,2$

Для случая $K=0$ отображение является линейным, поэтому существуют лишь периодические и квазипериодические траектории. При $K\ne 0$ отображение становится нелинейным, согласно теореме КАМ, происходит разрушение инвариантных торов и движения стохастических слоев, в которых динамика является хаотической. Рост $K$ приводит к увеличению областей хаоса на фазовой плоскости $(x,p)$. Благодаря периодичности функции $\sin (x)$, динамику системы можно рассматривать на цилиндре [взяв $xmod(2\pi )$] или на торе [взяв $(x,p)mod(2\pi )$].

Стационарные точки отображения определяются из условия $(x_n,p_n)=(x_{n+1},p_{n+1})$. На интервале $x\in [0,2\pi ]$, $p\in [0,2\pi ]$ такими точками являются $(0,0)$ и $(\pi ,0)$ (вследствие симметричности фазовой плоскости системы $(x_n,p_n)$ при инверсии относительно точки $(\pi ,\pi )$ стационарные точки $(0,\pi )$ и $(\pi ,\pi )$ можно не рассматривать).

Анализ линейной устойчивости отображения сводится к анализу системы уравнений

$\left[\begin{array}{c}\delta x_{n+1}\\ \delta p_{n+1}\end{array}\right]=\hat{M}\left[\begin{array}{c}\delta x_n\\ \delta p_n\end{array}\right],$

$\hat{M}=\left[\begin{array}{cc}1& 1+K\cos x_n\\ 1& K\cos x_n\end{array}\right].$

Из условия $\det |\hat{M}-\lambda \hat{I}|=0$ можно определить собственные значения матрицы $\hat{M}$ для обоих стационарных точек [$(0,0)$ и $(\pi ,0)$]:

${\lambda }_{\pm }^{(0,0)}=\frac{2+K\pm \sqrt{K^2+4K}}{2},$

${\lambda }_{\pm }^{(\pi ,0)}=\frac{2-K\pm \sqrt{K^2-4K}}{2}.$

Поскольку $K>0$, то отсюда следует неравенство ${\lambda }_{+}^{(0,0)}>1$. В то же время справедливо неравенство ${\lambda }_{-}^{(0,0)}<{\lambda }_{+}^{(0,0)}<1$ для произвольных $K>0$. Таким образом стационарная точка $(0,0)$ является неустойчивой гиперболической точкой. Стационарная точка $(\pi ,0)$ является устойчивой эллиптической точкой при $0⩽K<4$, поскольку тогда $\mathrm{R}\mathrm{e}\left|{\lambda }_{\pm }^{(\pi ,0)}\right|=1$. Для $K⩾4$ стационарная точка $(\pi ,0)$ теряет устойчивость и становится гиперболической.

Ниже критического значения параметра, $K<K_c$ (рис. 1) инвариантные торы делят фазовое пространство системы так, что момент импульса $p$ является ограниченным — иными словами, диффузия $p$ в стохастическом слое не может выходить за границы, ограниченные инвариантными торами. «Золотой» инвариантный тор разрушается, когда число вращения достигает значения $r_g=(\sqrt{5}-1)/2$, что соответствует критическому значению параметра $K_g=0,971635\dots$ (фазовое пространство системы для $K=0,971635$ изображено на рис. 2). На данный момент строго не доказано, что $K_c=K_g$, однако численные расчеты показывают, что это скорее всего так. На сегодняшний день существует лишь строгое доказательство того, что при $K>63/64=0,984375>K_c$ наблюдается режим глобального хаоса, когда стохастическое море с отдельными островками устойчивости покрывает всё фазовое пространство (см. рис. 3). Инвариантных торов, ограничивающих эволюцию в фазовом пространстве, уже нет, и можно говорить о диффузии траектории в хаотическом море.

Энтропия Колмогорова — Синая стандартного отображения хорошо описывается соотношением $h\approx \ln (K/2)$ для значений контрольного параметра $K>4$

Квантовое стандартное отображение

Переход на квантового стандартного отображения происходит заменой динамических переменных $(p,x)$ квантовомеханическими операторами $(\hat{p},\hat{x})$, которые удовлетворяют коммутационному соотношению $[\hat{p},\hat{x}]=-i\hslash$, где $\hslash$ — эффективная безразмерная постоянная Планка.

Основным свойством квантового отображения по сравнению с классическим является так называемое явление динамической локализации, заключающейся в подавлении хаотической диффузии за счёт квантовых эффектов.

Применение

Много физических систем и явлений сводятся к стандартному отображению. Это, в частности,

• динамика частиц в ускорителях;
• динамика кометы в Солнечной системе;
• микроволновая ионизация ридберговских атомов и автоионизация молекулярных ридберговских состояний;
• электронный магнетотранспорт в резонансном туннельном диоде;
• удержание заряженных частиц в зеркальных магнитных ловушках.

Модель Френкеля — Конторовой

Модель Френкеля — Конторовой следует выделить отдельно как первую модель, в которой уравнения стандартного отображения были записаны аналитически. Эта модель используется для описания динамики дислокаций, монослоев на поверхностях кристаллов, волн плотности заряда, сухого трения. Модель в стационарном случае задаёт связь между положениями взаимодействующих частиц (например, атомов) в поле пространственно-периодического потенциала. Функция Гамильтона одномерной цепочки атомов, взаимодействующих с ближайшими соседями через параболический потенциал взаимодействия и находящимися в поле косинусоидального потенциала, который описывает кристаллическую поверхность, имеет следующий вид:

$H=\sum _n(\frac{P_n^2}{2}+\frac{(x_{n+1}-x_n{)}^2}{2}-K\cos x_n),P_n={\dot{x}}_n.$

Здесь $x_n$ — отклонение атома от своего положения равновесия. В стационарном случае ($P_n\equiv 0$) это приводит к следующему уравнению

$x_{n+1}-2x_n+x_{n-1}=K\sin x_n,$

которое заменой $p_{n+1}=x_{n+1}-x_n$ можно свести к обычной записи стандартного отображения.

Литература

• Стандартное отображение Чирикова на www.scholarpedia.org Шаблон:Ref-en.
• Шаблон:MathWorld
• Шаблон:Книга.
• Шаблон:Книга.
• Шаблон:Книга.
• Chirikov B. V. «Time-dependent quantum systems» in «Chaos and quantum mechanics» // Les Houches Lecture Series, Vol. 52, pp. 443—545, Eds. M.-J. Giannoni, A. Voros, J. Zinn-Justin, Elsevier Sci. Publ., Amsterdam (1991).