Теорема Ковалевской

Теорема Ковалевской о единственности и локальной разрешимости задачи Коши для системы Ковалевской играет важную роль в теории уравнений в частных производных.

Система Ковалевской

Система уравнений в частных производных с неизвестными функциями $u_1,u_2,...,u_N$ вида

$\frac{{\partial }^{n_i}{u}_i(x,t)}{\partial t^{n_i}}=F_i(t,x,u_i,...,u_N,...,\frac{{\partial }^a{u}_j}{\partial t^{a_0}\partial x_1^{a_1}...\partial x_n^{a_n}},...),$

где $x=(x_1,...,x_n)$, $a=a_0+a_1+...+a_n$, $a⩽n_j$, $a_0⩽n_j-1$, $i,j=1,...,N$, то есть число уравнений равно числу неизвестных, называется системой Ковалевской. Независимая переменная $t$ выделяется тем, что среди производных наивысшего порядка $n_i$ каждой функции системы содержится производная по $t$ порядка $n_i$ и система разрешена относительно этих производных.

Используется следующее обозначение:

$D^{a^{\prime }}{\varphi }_i^k(x)=\frac{{\partial }^{a^{\prime }}{\varphi }_i^k(x)}{\partial x_1^{a_1}...\partial x_n^{a_n}},$

где $a^{\prime }=a_0+a_1+...+a_n$, $a_i⩾0$, $i=1,...,N$.

Формулировка

Если все функции ${\varphi }_i^k(x)$ аналитичны в окрестности точки $x^0=(x_1^0,...,x_n^0)$, а функции $F_i$ определены и аналитичны в окрестности точки $(t^0,x_1^0,\dots ,x_n^0,{\varphi }_i^k(x^0),\dots ,D^{a^{\prime }}{\varphi }_i^k(x^0),\dots )$, то задача Коши имеет аналитическое решение в некоторой окрестности точки $(t^0,x_1^0,\dots ,x_n^0)$, единственное в классе аналитических функций.

См. также

• Теорема Коши — Ковалевской

Литература

• Шаблон:Книга