Теорема Гурвица (теория чисел)

Теорема Гурвица — результат теории чисел, оценивающий возможность приближения иррациональных чисел рациональными.

Формулировка

Для любой константы $c⩽\sqrt{5}$ и иррационального числа $\xi$ существует бесконечно много целых чисел $k$ таких, что $\xi$ приближаемо рациональными числами с точностью $|\xi -\frac{h}{k}|<\frac{1}{c{k}^2}$.

Для любой константы $c>\sqrt{5}$ существует иррациональное число $\xi$ такое, что только конечное количество значений $k$ позволяют подобрать $h$, удовлетворяющее $|\xi -\frac{h}{k}|<\frac{1}{c{k}^2}$.

Доказательство

Теорема была доказана Адольфом Гурвицем в 1891 году. Контрпримером для $c>\sqrt{5}$ может являться число $\frac{1+\sqrt{5}}{2}$.

Литература

• Шаблон:Книга