Индуцированное расслоение

Индуцированное расслоение — расслоение $f^{*}(\pi ):E^{\prime }\to B^{\prime }$, индуцированное отображением $f:B^{\prime }\to B$ и расслоением $\pi :E\to B$, где $E^{\prime }$ — подпространство прямого произведения $B^{\prime }\times E$, состоящее из пар $(b^{\prime },e)$, для которых $f(b^{\prime })=\pi (e)$, и $f^{*}(\pi ):(b^{\prime },e)\mapsto b^{\prime }$.

При этом следующая коммутативная диаграмма образует декартов квадрат:

Свойства

• Отображение $F:E^{\prime }\to E$ индуцированного расслоения в исходное расслоение, определённое формулой $F(b^{\prime },e)=e$, является морфизмом расслоений, накрывающим $f$.
  • Для каждой точки $b^{\prime }\in B^{\prime }$ ограничения на слой является гомеоморфизмами.
• Для любого расслоения $\eta :X\to B^{\prime }$ и морфизма $H:\eta \to \pi$, накрывающего $f$, существует один и только один морфизм $K:\eta \to f^{*}(\pi )$, удовлетворяющий соотношениям

  $FK=H$

  $f*(\pi )K=\eta$.

• Расслоения, индуцированные изоморфными расслоениями, изоморфны, расслоение, индуцированное постоянным отображением, изоморфно тривиальному.
• Для любого сечения $s$ расслоения $\pi$ отображение $\sigma :B^{\prime }\to E^{\prime }$, определённое формулой $\sigma (b^{\prime })=(b^{\prime },sf(b^{\prime }))$, является сечением индуцированного расслоения $f^{*}(\pi )$ и удовлетворяет соотношению $F\sigma =sf$.