Дискретное преобразование Абеля

Шаблон:Значения Дискретным преобразованием А́беля называют следующее тождество:

$\sum _{k=m}^n{a}_k{b}_k=a_n{B}_n-a_m{B}_{m-1}-\sum _{k=m}^{n-1}(a_{k+1}-a_k)B_k,$

где $n⩾m⩾1$, $(a_k),(b_k),(B_k)$ — последовательности $(k\in \mathbb{N})$, при этом $B_k=b_1+b_2+\dots +b_k$ и $B_0=0$. Это преобразование было названо в честь норвежского математика Нильса Хенрика Абеля. В математическом анализе оно используется при доказательстве признака сходимости Дирихле.

Преобразование Абеля является дискретным аналогом интегрирования по частям и иногда называется суммированием по частям.

Доказательство

Имеем

$\begin{array}{cc}\sum _{k=m}^n{a}_k{b}_k& =\sum _{k=m}^n{a}_k(B_k-B_{k-1})=\\ & =\sum _{k=m}^n{a}_k{B}_k-\sum _{k=m}^n{a}_k{B}_{k-1}=\\ & =\sum _{k=m}^n{a}_k{B}_k-\sum _{k=m-1}^{n-1}{a}_{k+1}{B}_k=\\ & =a_n{B}_n+\sum _{k=m}^{n-1}{a}_k{B}_k-\sum _{k=m}^{n-1}{a}_{k+1}{B}_k-a_m{B}_{m-1}=\\ & =a_n{B}_n-a_m{B}_{m-1}-\sum _{k=m}^{n-1}(a_{k+1}-a_k)B_k,\end{array}$

что и требовалось доказать.