Сигма-конечная мера

Си́гма-коне́чная ме́ра в функциональном анализе — мера такая, что всё пространство может быть представлено в виде счётного объединения измеримых множеств конечной меры.

Определение

Пусть $(X,ℱ,\mu )$ — пространство с мерой. Мера $\mu$ называется σ-конечной, если существует счётное семейство измеримых множеств $\{A_i{\}}_{i=1}^{\mathrm{\infty }}\subset ℱ$, такое, что $\mu (A_i)<\mathrm{\infty },i\in \mathbb{N}$ и

$X=\bigcup _{i=1}^{\mathrm{\infty }}{A}_i$.

Примеры

• Мера Лебега $m$ на $ℝ$ σ-конечна, так как

$ℝ=\bigcup _{i=1}^{\mathrm{\infty }}[-i,i],m([-i,i])=2i<\mathrm{\infty },i=1,2,\dots$.

• Счётная мера $\mu$ на $ℝ$, то есть такая, что $\mu (\{x\})=1,\mathrm{\forall }x\in ℝ$ не является σ-конечной, ибо счётное объединение любых множеств конечной меры в этом случае будет счётно, в то время как всё пространство несчётно.

Литература

• Шаблон:Книга