Теорема Гаусса — Люка

Теорема Гаусса — Люка даёт ограничения на корни производной многочлена с комплексными коэффициентами через корни самого многочлена.

Формулировка

Для произвольного не равного тождественно постоянной многочлена $P(z)$ с комплексными коэффициентами множество нулей его производной $P^{\prime }(z)$ принадлежит выпуклой оболочке нулей многочлена $P(z)$.

О доказательстве

Доказательство теоремы опирается на следующее легко проверяемое утверждение: Если все корни многочлена $P(z)$ находятся в полуплоскости $\mathrm{R}\mathrm{e}z<0$, тогда в области $\mathrm{R}\mathrm{e}z\ge 0$ справедливо неравенство:

$\mathrm{R}\mathrm{e}\frac{P^{\prime }(z)}{P(z)}>0$,

из которого следует, что все корни производной также должны быть в полуплоскости $\mathrm{R}\mathrm{e}z<0$.