Комплекснозначная функция

Шаблон:О Комплекснозначная функция в теории функций вещественной переменной — функция, принимающая комплексные значения: $f:ℝ\to ℂ$.

Такая функция может быть представлена в виде:

$f(x)=u(x)+iv(x)$,

где $u(x)$ и $v(x)$ — вещественные функции. В этом случае функция $u(x)$ называется вещественной частью функции $f(x)$, а $v(x)$ — её мнимой частью. В связи с таким разложением, на комплекснозначные функции естественным образом переносятся все понятия, вводимые для вещественнозначных функций, в частности, комплекснозначная функция считается непрерывной (дифференцируемой, аналитической, измеримой, гармонической), если её вещественная и мнимая части являются непрерывными (дифференцируемыми, аналитическими, измеримыми, гармоническими) функциями. Интеграл комплекснозначной функции $f(x)=u(x)+iv(x)$ определяется следующим образом:

$\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)=\underset{a}{\overset{b}{\int }}u(x)dx+i\underset{a}{\overset{b}{\int }}v(x)dx$.

Однако не все свойства, выполненные для вещественной и мнимой части одновременно, могут быть распространены на комплекснозначные функции. В частности, для комплекснозначных функций в общем случае не действует теорема Ролля, например, производная комплекснозначной функции вещественного аргумента:

$\sigma (x)=e^{ix}$

на интервале $[0,2\pi ]$ не обращается в нуль, хотя в конечных точках отрезка значения функции равны $(\sigma (0)=\sigma (2\pi )=1)$.

Литература

• Шаблон:Книга