Функция Ломмеля

Функция Ломмеля — неэлементарная функция, которая является частным решением неоднородного уравнения Бесселя:

$z^2\frac{d^{2}f}{d{z}^2}+z\frac{df}{dz}+(z^2-{\nu }^2)f=z^{\mu +1}$

Введена немецким математиком Эйгеном фон Ломмелем.

Интегральное выражение функции Ломмеля:

${𝖦}_{\nu ,\mu }(x)=\frac{\pi }{2}(N_{\nu }(x)\cdot \underset{0}{\overset{x}{\int }}{J}_{\nu }(t)\cdot t^{\mu }dt-J_{\nu }(x)\cdot \underset{0}{\overset{x}{\int }}{N}_{\nu }(t)\cdot t^{\mu }dt)$

где $J_{\nu }(x)$ — функция Бесселя; $N_{\nu }(x)$ — функция Неймана.

Разложение функции Ломмеля в ряд:

${𝖦}_{\nu ,\mu }(x)=\frac{x^{\mu }}{4}\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^k\cdot {\left(\frac{x}{2}\right)}^{2k}}{{\left(\frac{\mu +\nu }{2}\right)}_{k+1}\cdot {\left(\frac{\mu -\nu }{2}\right)}_{k+1}}$

где ${\left(a\right)}_k$ — символ Похгаммера.

Литература

• «Ломмеля функция» — статья из Математической энциклопедии

Ссылки

• Шаблон:MathWorld