Теорема Каратеодори о продолжении меры

Теорема Каратеодори о продолжении меры — утверждение теории меры, согласно которому произвольная счётно-аддитивная мера на некотором кольце $ℛ$ подмножеств множества $\mathrm{\Omega }$ может быть продолжена на $\sigma$-кольцо, порождённое кольцом $ℛ$, а в случае $\sigma$-конечности меры — такое продолжение является единственным. Из теоремы, в частности, вытекает существование и единственность меры Бореля и меры Лебега. Впервые установлена Морисом Фреше в 1924 году, впоследствии найдена Константином Каратеодори, с чьим именем традиционно связывается, иногда в литературе результат также упоминается как теорема Каратеодори — Хопфа, теорема Хопфа о продолжении меры, теорема Хана — Колмогорова.

Теорема для $ℛ$ — кольца подмножеств множества $\mathrm{\Omega }$ с мерой $\mu :ℝ\to [0,+\mathrm{\infty }]$ и $\sigma (ℛ)$ — $\sigma$-кольца, порождённого $ℝ$ утверждает, что существует мера ${\mu }^{\prime }:\sigma (ℛ)\to [0,+\mathrm{\infty }]$ такая, что ${\mu }^{\prime }{|}_{ℝ}=\mu$, единственное и $\sigma$-конечное в случае $\sigma$-конечности $\mu$.

Более того, продолжение существует для меры, заданной на полукольце, то есть семействе подмножеств $S$, удовлетворяющих следующим условиям:

• $\varnothing \in S$;
• для любых $A,B\in S$ пересечение $A\cap B\in S$;
• для любых $A,B\in S$ существуют такие попарно непересекающиеся множества $K_i\in S$, где $i=1,2,\dots ,n$, что $A\setminus B=\underset{i=1}{\overset{n}{⨄}}{K}_i$.

Однако этот случай легко сводится к предыдущему, поскольку каждое полукольцо $S$ порождает кольцо $R(S)$, элементами которого являются всевозможные конечные дизъюнктные объединения множеств из $S$:

$R(S)=\{\underset{i=1}{\overset{n}{⨄}}{A}_i\mid A_i\in S\}$,

а мера $\mu$, заданная на полукольце, продолжается на всё кольцо:

$\mu (A)=\sum _{i=1}^n\mu (A_i)$, где $A=\underset{i=1}{\overset{n}{⨄}}{A}_i$, $A_i\in S$.

Построение продолжения

Если $\mu$ — мера, определённая на кольце $ℛ$ подмножеств множества $\mathrm{\Omega }$, то на подмножествах $A\subset \mathrm{\Omega }$ можно определить функцию:

${\mu }^{*}(A)=\inf \{\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\mathrm{\mu }(E_k)\mid E_k\in ℛ,A\subset \bigcup _{k=1}^{\mathrm{\infty }}{E}_k\}$.

Эта функция является внешней мерой, порождённой мерой $\mu$. Если ${ℳ}_{\mu }$ — семейство подмножеств $A$ множества $\mathrm{\Omega }$, таких что для всех $E\subset \mathrm{\Omega }$ выполняется ${\mu }^{*}(E\cap A)+{\mu }^{*}(E\setminus A)={\mu }^{*}(E)$, то ${ℳ}_{\mu }$ является $\sigma$-кольцом, и на нём можно определить меру $\bar{\mu }(A)={\mu }^{*}(A)$ для всех $A\in {ℳ}_{\mu }$. Определённая таким образом функция является мерой, которая совпадает с $\mu$ на множествах кольца $ℛ$. Также ${ℳ}_{\mu }$ содержит $\sigma$-алгебру $\sigma (ℛ)$ и сужение $\bar{\mu }$ на элементы $\sigma (ℛ)$ и будет необходимым расширением меры.

$\sigma$-кольцо ${ℳ}_{\mu }$ является пополнением кольца $\sigma (ℛ)$, соответственно, они совпадают, если определённая мера на $\sigma (ℛ)$ является полной.

Примеры

Если на действительной прямой взять полукольцо $𝒮$ интервалов $[a,b]$, где $a<b$ и мера $[a,b]$ равна $b-a$, то представленная конструкция дает определение меры Бореля на борелевских множествах $\sigma (𝒮)$. Множеству ${ℳ}_{\mu }$ здесь соответствует множество измеримых по Лебегу множеств.

Условие $\sigma$-конечности является необходимым для единственности продолжения. Например, на множестве $X$ всех рациональных чисел промежутка $[0,1]$ можно задать полукольцо промежутков с рациональными концами $[a,b)$, где $a<b$ — рациональные числа из промежутка $[0,1]$. $\sigma$-кольцо, порождённое этим полукольцом, является множеством всех подмножеств $X$. Пусть теперь $\mu (A)$ равно количеству элементов $A$, а ${\mu }^{\prime }(A)=2\mu (A)$. Тогда обе меры совпадают на полукольце и порождённом кольце (поскольку все непустые множества полукольца и кольца являются бесконечными, то обе меры на всех этих множествах равны $\mathrm{\infty }$), но не совпадают на порождённом $\sigma$-кольце. То есть в данном случае продолжение не является единственным.

Литература

• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга