Уравнения Цёппритца

Уравнения Цёппритца — уравнения, определяющие изменение амплитуд сейсмических волн на границах слоёв с различными сейсмическими свойствами. Карл Бернхард Цёппритц (1881–1908) — немецкий геофизик, который сформулировал уравнения, названные в его часть. Он работал в Гёттингенском университете ассистентом в исследовательской группе Эмиля Вихерта. Уравнения Цёппртитца связывают амплитуды Р– и S– волн на границе двух упругих сред с углом падения ${\alpha }_1$ волны на границу.

Точная формулировка

Матрица

$\left(\begin{array}{cccc}sin{\alpha }_{P1}& -cos{\alpha }_{S1}& sin{\alpha }_{P2}& cos{\alpha }_{S2}\\ cos{\alpha }_{P1}& sin{\alpha }_{S1}& -cos{\alpha }_{P2}& sin{\alpha }_{S2}\\ {\gamma }_{P1}\cdot cos2{\alpha }_{S1}& {\gamma }_{S1}\cdot sin2{\alpha }_{S1}& {\gamma }_{P2}\cdot cos2{\alpha }_{S2}& -{\gamma }_{S2}\cdot cos2{\alpha }_{S2}\\ {\gamma }_{P1}\cdot cos2{\alpha }_{S1}& {\gamma }_{S1}\cdot sin2{\alpha }_{S1}& {\gamma }_{P2}\cdot cos2{\alpha }_{S2}& -{\gamma }_{S2}\cdot cos2{\alpha }_{S2}\end{array}\right)$

Приближение

Уравнения Цёппритца сложны в использовании, и поэтому чаще используются приближения, такие как уравнения Бортфельда (1961 год) и Шуей (1985 год). Шуей в приближении:

$R(\theta )=R_0+[A_0{R}_0+\frac{\mathrm{△}\sigma }{(1-\sigma {)}^2}]si{n}^2\theta +\frac{1}{2}\frac{\mathrm{△}{V}_p}{V_p}(ta{n}^2\theta -si{n}^2\theta )$

где каждый элемент охватывает амплитуды отражения на больших углах. Первое слагаемое $R_0$ дает амплитуду при нормальном падении $(\theta =0)$, второе слагаемое характеризует $R(\theta )$ на промежуточных углах, а третий член описывает подход к критическому углу. Здесь $\sigma$ это коэффициент Пуассона, $\theta$ — угол падения, и $A_0$ — медленно меняющаяся величина пропорциональная $\frac{1-2\theta }{1-\theta }$. Это приближение было сделано с точностью до 60 градусов от критического угла, и оно предполагает, что изменение плотности и скоростей через границы много меньше 1.

Ссылки

• https://web.archive.org/web/20110428170807/http://www.crewes.org/ResearchLinks/ExplorerPrograms/ZE/ZEcrewes.html