Непрерывность по Скотту

Непрерывность по Скотту — свойство функций над частично упорядоченными множествами, выражающееся в сохранении точной верхней грани относительно отношения частичного порядка.

Топология Скотта — структура над полной решёткой или, в более общем случае, над полным частично упорядоченным множеством, в которой открытыми считаются верхние множества, недоступные для прямых соединений, или эквивалентно, топология, в рамках которой функции над частично упорядоченными множествами, сохраняющие точную верхнюю грань, являются непрерывнымиШаблон:Sfn.

Понятия были разработаны в 1970-е годы Даной Скоттом, благодаря им построены первая непротиворечивая модель бестипового λ-исчисления и Шаблон:Iw. В частности, функции аппликации и каррирования являются непрерывными по СкоттуШаблон:Sfn.

Определения

Если $P$ и $Q$ — частично упорядоченные множества, то функция $f:P\to Q$ между ними является непрерывной по Скотту если для любого направленного подмножества $D\subseteq P$ существует точная верхняя грань его образа $\sup f(D)$, притом выполнено следующее условие: $\sup f(D)=f(\sup D)$.

Топология Скотта на полном частично упорядоченном множестве $⟨D,⊑⟩$ вводится определением открытого множества $O$ как обладающего следующими свойствами:

1. из того, что $x\in O$ и $x⊑y$ следует $y\in O$;
2. если $⨆X\in O$, где $X\subseteq D$ и $X$ направленно, то $X\cap O\ne \varnothing$Шаблон:Sfn.

Топология Скотта была впервые введена для полных решётокШаблон:Sfn, впоследствии была обобщена до полных частично упорядоченных множествШаблон:Sfn.

Категория, объектами которой являются полные частично упорядоченные множества, а морфизмами — непрерывные по Скотту отображения, обозначается $𝖢𝖯𝖮$.

Свойства

Функции, непрерывные по Скотту, всегда монотонны относительно отношения частичного порядка.

Подмножество частично упорядоченного множество замкнуто в топологии Скотта тогда и только тогда, когда оно является нижним множеством и включает точные верхние грани всех своих подмножествШаблон:Sfn.

Полное частично упорядоченное множество, наделённое топологией Скотта, всегда является T₀-пространством, а хаусдорфовым — тогда и только тогда, когда отношение порядка тривиальноШаблон:Sfn.

Для любой непрерывной по Скотту функции, отображающей полное частично упорядоченное множество на себя, выполнена теорема Клини, согласно которой каждое такое отображение обладает единственной наименьшей неподвижной точкой. Кроме того, отображение $𝐅𝐢𝐱$, определённое на множестве непрерывных по Скотту функций $f:D\to D$ и возвращающее для каждой функции значение её неподвижной точки ($𝐅𝐢𝐱(f)=x\iff f(x)=x$), само является непрерывным по СкоттуШаблон:Sfn.

Категория $𝖢𝖯𝖮$ является декартово замкнутойШаблон:Sfn.

Аналоги

Близкой по свойствам к топологии Скотта конструкцией является категория $f_0$-пространств, разработанная Юрием Ершовым в 1975 году — с её помощью также может быть построена непротиворечивая модель λ-исчисления. В качестве её преимущества отмечаетсяШаблон:Sfn, что категория $f_0$-пространств является декартово замкнутой, каждый объект в ней является топологическим пространством, топология на произведении является произведением топологий сомножителей, а топология в пространстве функций оказывается топологией поточечной сходимости. Такими удобными свойствами топология Скотта не обладает, в частности, произведение топологий Скотта на полных частично упорядоченных множеств в общем случае топологией Скотта на произведении множеств не является.

Литература

• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Статья
• Шаблон:Книга