Модель авторегрессии и распределённого лага

Модель авторегрессии и распределённого лага (ADL-модель, Шаблон:Lang-en) — модель временного ряда, в которой текущие значения ряда зависят как от прошлых значений этого ряда, так и от текущих и прошлых значений других временных рядов. Модель $ADL(p,q)$ с одной экзогенной переменной имеет вид:

$y_t=a_0+\sum _{i=1}^p{a}_i{y}_{t-i}+\sum _{j=0}^q{b}_j{x}_{t-j}+{\epsilon }_t$

Модель $ADL(p,0)$ — это модель авторегрессии AR(p) (в общем случае, возможно с экзогенной переменной без лагов), а модель $ADL(0,q)$ — это модель распределённого лага $DL(q)$.

Модель обобщается на случай нескольких экзогенных переменных $x$. В этом случае возможно обозначение модели $ADL(p,q_1,q_2,\dots ,q_k)$, где $k$ — количество экзогенных переменных, $q_i$-количество лагов $i$-ой переменной, входящих в модель. В общем случае, можно считать, что все экзогенные переменные включены в модель с одинаковым количеством лагов, а исключение какого-либо лага некоторых переменных означает лишь ограничение на модель. Поэтому иногда используют обозначение $ADL(p,q;k)$, $k$ — количество экзогенных переменных, $q$ — количество лагов. Наложение ограничений на коэффициенты этой модели приводит к тем или иным вариациям. В таком обозначении, классическая модель $ADL(p,q)$ будет обозначаться как $ADL(p,q;1)$.

На практике для оценки подобных моделей часто используют методологию Бокса-Дженкинса для оценки авторегрессии и специальные приёмы для упрощения оценки распределённого лага

Операторное представление

С помощью лагового оператора $L:L{x}_t=x_{t-1}$ модели авторегрессии и распределённого лага можно записать следующим образом:

$y_t=a_0+(\sum _{i=1}^p{a}_i{L}^i)y_t+(\sum _{j=0}^q{b}_j{L}^j)x_t+{\epsilon }_t$

Или в сокращённой форме:

$a(L)y_t=a_0+b(L)x_t+{\epsilon }_t,a(L)=1-(\sum _{i=1}^p{a}_i{L}^i),b(L)=(\sum _{j=0}^q{b}_j{L}^j)$

Если корни характеристического авторегрессионного полинома $a(z)$ лежат вне единичного круга (в комплексной плоскости), то ADL-модель можно представить в виде модели бесконечного распределённого лага:

$y_t=\frac{a_0}{a(L)}+\frac{b(L)}{a(L)}{x}_t+{\epsilon }_t$

Если в это выражение подставить вместо лагового оператора $L$ значение 1, получим модель долгосрочной зависимости между переменными $y$ и $x$:

$y_t^{*}=\frac{a_0}{a(1)}+\frac{b(1)}{a(1)}{x}_t^{*}+{\epsilon }_t=\frac{a_0}{1-\sum _{i=1}^p{a}_i}+\frac{\sum _{j=0}^q{b}_j}{1-\sum _{i=1}^p{a}_i}{x}_t^{*}+{\epsilon }_t$

Коэффициент при экзогенной переменной называется долгосрочным мультипликатором. Содержательная интерпретация этого следующая. Модели распределённого лага (DL-модели) позволяют учесть запаздывающее влияние факторов (наряду с текущим). Коэффициенты DL-модели $b_j$ называют импульсными мультипликаторами. Они показывают влияние запаздыванием на $j$ периодов на эндогенную переменную. Однако в каждый момент времени оказывают влияние несколько лаговых значений фактора, поэтому в долгосрочной перспективе коэффициент влияния фактора (долгосрочный мультипликатор) равен сумме импульсных мультипликаторов. Добавление к модели распределённого лага авторегрессионной части позволяет учесть кроме прямого влияния и опосредованное — через влияние прошлых значений зависимой переменной на её же будущие значения. Знаменатель в формуле долгосрочного мультипликатора и учитывает авторегрессионное увеличение мультипликативного эффекта.

Исходя из наличия долгосрочной модели модель ADL можно представить в несколько ином виде — в ECM-представлении (Шаблон:Lang-en — модель коррекции ошибок):

$\mathrm{△}{y}_t=\sum _{i=1}^{p-1}{\alpha }_i\mathrm{△}{y}_{t-i}+\sum _{j=0}^{q-1}{\beta }_j\mathrm{△}{x}_{t-j}-a(1)(y_{t-1}-\frac{a_0}{a(1)}-\frac{b(1)}{a(1)}{x}_{t-1})+{\epsilon }_t$

Выражение в скобках отражает отклонение от долгосрочной зависимости в предыдущий момент времени. Остальная часть уравнения отражает краткосрочную зависимость. Таким образом, в таком представлении видно, что краткосрочная динамика корректируется в зависимости от степени отклонения от долгосрочной.

Пример

Рассмотрим модель $ADL(1,1)$:

$y_t=a_0+a_1{y}_{t-1}+b_0{x}_t+b_1{x}_{t-1}+{\epsilon }_t$

ECM-представление данной модели имеет вид:

$\mathrm{△}{y}_t=b_0\mathrm{△}{x}_t+(1-a_1)(y_{t-1}-\frac{a_0}{1-a_1}-\frac{b_0+b_1}{1-a_1}{x}_{t-1})+{\epsilon }_t$

Таким образом краткосрочная зависимость выражается коэффициентом $b_0$ реакции на изменение фактора по сравнению с прошлым периодом. Однако, такая реакция корректируется в зависимости от отклонения от долгосрочной зависимости между переменными. Долгосрочный мультипликатор в данном случае равен $(b_0+b_1)/(1-a_1)$

См. также

• Распределённый лаг
• Авторегрессионная модель