Транспонированная матрица

Транспонированная матрица — матрица $A^T$, полученная из исходной матрицы $A$ заменой строк на столбцы.

Формально, транспонированная матрица для матрицы $A$ размеров $m\times n$ — матрица $A^T$ размеров $n\times m$, определённая как $A_{ij}^T=A_{ji}$.

Например,

${\left[\begin{array}{cc}1& 2\\ 3& 4\end{array}\right]}^{\mathrm{T}}=\left[\begin{array}{cc}1& 3\\ 2& 4\end{array}\right]$ и ${\left[\begin{array}{cc}1& 2\\ 3& 4\\ 5& 6\end{array}\right]}^{\mathrm{T}}=\left[\begin{array}{ccc}1& 3& 5\\ 2& 4& 6\end{array}\right]$

То есть для получения транспонированной матрицы из исходной нужно каждую строчку исходной матрицы записать в виде столбца в том же порядке.

Свойства транспонированных матриц

• Дважды транспонированная матрица А равна исходной матрице А.

$(A^T{)}^T=A$

• Транспонированная сумма матриц равна сумме транспонированных матриц.

$(A+B{)}^T=A^T+B^T$

• Транспонированное произведение матриц равно произведению транспонированных матриц, взятых в обратном порядке.

$(AB{)}^T=B^T{A}^T$

• При транспонировании можно выносить скаляр.

$(\lambda A{)}^T=\lambda A^T$

• Определитель транспонированной матрицы равен определителю исходной матрицы.

$\det A=\det A^T$

Связанные определения

Симметричная матрица (симметрическая матрица) — матрица, удовлетворяющая соотношению $S^T=S$.

Для того чтобы матрица $S$ была симметричной, необходимо и достаточно, чтобы:

• матрица $S$ была квадратной;
• элементы, симметричные относительно главной диагонали, были равны, то есть $S_{ij}=S_{ji}$.

Антисимметричная (кососимметричная) матрица (антисимметрическая, кососимметрическая) — матрица, удовлетворяющая соотношению $A^T=-A$.

Для того чтобы матрица $A$ была антисимметричной, необходимо и достаточно, чтобы:

• матрица $A$ была квадратной;
• элементы, симметричные относительно главной диагонали, были равны по модулю и противоположны по знаку, то есть $A_{ij}=-A_{ji}$.

Отсюда следует, что элементы главной диагонали антисимметричной матрицы равняются нулю: $A_{ii}=0$.

Для любой квадратной матрицы $M$ имеется представление $M=S+A$,

где $S=\frac{M+M^T}{2}$ — симметричная часть, $A=\frac{M-M^T}{2}$ — антисимметричная часть.

См. также

• Сопряжённо-транспонированная матрица