Последовательность жонглёра

Последовательность жонглёра — целочисленная последовательность, начинающаяся с заданного натурального числа $a_0$, в которой каждый следующий элемент определяется следующим рекуррентным соотношением:

$a_{k+1}=\{\begin{array}{cc}\lfloor a_k^{\frac{1}{2}}\rfloor ,& \text{если }{a}_k\text{ чётно}\\ \\ \lfloor a_k^{\frac{3}{2}}\rfloor ,& \text{если }{a}_k\text{ нечётно}\end{array}$

Предложены и изучены Шаблон:IwШаблон:SfnШаблон:Sfn в 1992 году.

Например, последовательность жонглёра для $a_0=3$:

$a_1=\lfloor 3^{\frac{3}{2}}\rfloor =\lfloor 5,196\dots \rfloor =5$,

$a_2=\lfloor 5^{\frac{3}{2}}\rfloor =\lfloor 11,180\dots \rfloor =11$,

$a_3=\lfloor 11^{\frac{3}{2}}\rfloor =\lfloor 36,482\dots \rfloor =36$,

$a_4=\lfloor 36^{\frac{1}{2}}\rfloor =\lfloor 6\rfloor =6$,

$a_5=\lfloor 6^{\frac{1}{2}}\rfloor =\lfloor 2,449\dots \rfloor =2$,

$a_6=\lfloor 2^{\frac{1}{2}}\rfloor =\lfloor 1,414\dots \rfloor =1$.

Если последовательность жонглёра достигает 1, то все её последующие значения равны 1.

Шаблон:ЯкорьГипотеза жонглёра: все последовательности жонглёра в конечном счёте достигают значения 1 (и вырождаются). Гипотеза была проверена для начальных значений $a_0⩽10^6$Шаблон:Sfn, но не доказана, и по состоянию Шаблон:На является открытой проблемой теории чисел. По типу формулировки и сложности доказательства имеет сходство с гипотезой Коллатца (для которой Пал Эрдёш отмечал, что «математика ещё не готова для таких задач»).

Для заданного начального числа $l(a_0)$ определяется как номер первого равного единице элемента, а $h(a_0)$ — как максимальное значение в этой последовательности; первые значения:

$a_0$	Последовательность жонглёра	$l(a_0)$	$h(a_0)$
2	2, 1	1	2
3	3, 5, 11, 36, 6, 2, 1	6	36
4	4, 2, 1	2	4
5	5, 11, 36, 6, 2, 1	5	36
6	6, 2, 1	2	6
7	7, 18, 4, 2, 1	4	18
8	8, 2, 1	2	8
9	9, 27, 140, 11, 36, 6, 2, 1	7	140
10	10, 3, 5, 11, 36, 6, 2, 1	7	36

Элементы последовательности жонглёра могут достигать очень больших значений: например, последовательность жонглёра, начинающаяся с $a_0=37$, достигает максимального значения Шаблон:Num, а при $a_0=48443$ — в 60-м элементе содержится Шаблон:Num десятичных цифры, а единица достигается на 157-м элементеШаблон:Sfn.

Литература

• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Cite web
• Шаблон:Cite web