Простое число Фибоначчи — Вифериха

Шаблон:Unsolved Простое число Фибоначчи — Вифериха (также простое число Уолла — Суня — Суня, Шаблон:Lang-en) — одно из предположительно существующих простых чисел определённого вида, связанных с числами Фибоначчи. По состоянию на 2023 год ни одного такого числа не найдено.

Определение

Простое $p>5$ называется простым числом Фибоначчи — Вифериха, если $p^2$ делит число Фибоначчи $F_{p-\left(\frac{p}{5}\right)}$, где символ Лежандра $\left(\frac{p}{5}\right)$ определяется как:

$\left(\frac{p}{5}\right)=\{\begin{array}{cc}1,& \text{if}p\equiv \pm 1(\mathrm{mod}5)\\ -1,& \text{if}p\equiv \pm 2(\mathrm{mod}5)\end{array}$

Эквивалентное определение: простое $p$ называется простым числом Фибоначи — Вифериха, если $L_p\equiv 1(\mathrm{mod}{p}^2)$, где $L_p$ — $p$-ое число Люка.Шаблон:Rp

Существование

Существует гипотеза, что простых чисел Фибоначчи — Вифериха бесконечно много, однако по состоянию на 2013 год ни одно такое простое число не обнаружено.

В 2007 году Ричард Макинтош (Richard J. McIntosh) и Эрик Рётгер (Eric L. Roettger) показали, что если они существуют, то должны быть больше 2Шаблон:E, в 2010 году Франсуа Дорэ (François G. Dorais) и Доминик Клайв (Dominic Klyve) довели границу до 9,7Шаблон:E. В декабре 2011 года был начат поиск в проекте PrimeGrid, в декабре 2012 года PrimeGrid дошёл до границы 1,5Шаблон:E. По состоянию на апрель 2014 года PrimeGrid дошёл до границы 2.8Шаблон:E и продолжает поиск.

История

Простые числа Уолла — Суня — Суня названы в честь Дональда Уолла (Donald Dines Wall), Сунь Чжихуна (Sūn Zhìhóng) и Сунь Чживэя (Sūn Zhìwěi), которые в 1992 году показали, что если первый случай великой теоремы Ферма неверен для некоторого простого $p,$ то $p$ должно быть простым числом Фибоначи — Вифериха. Таким образом, до доказательства великой теоремы Ферма Эндрю Уайлсом, поиск простых Фибоначчи — Вифериха преследовал цель найти потенциальный контрпример.

Обобщения

Простое (число) трибоначчи — Вифериха (Шаблон:Lang-en) — простое число, удовлетворяющее условию

$h(p)=h(p^2),$

где $h(m)$ — наименьшее положительное целое, для которого выполняется условие

$[T_h,T_{h+1},T_{h+2}]\equiv [T_0,T_1,T_2](\mathrm{mod}m),$

$T_n$ — число трибоначчи с номером n, определённое как

$T_{n+3}=T_{n+2}+T_{n+1}+T_n,$

$T_0=0,T_1=0,T_2=1.$

Простых трибоначчи — Вифериха, меньших 10¹¹, не существует.

См. также

• Простое число Вифериха
• Число Вильсона
• Простое число Вольстенхольма

Литература

• Шаблон:Citation

Ссылки

• Chris Caldwell, The Prime Glossary: Wall-Sun-Sun prime at the Prime Pages.
• Шаблон:MathWorld
• Richard McIntosh, Status of the search for Wall-Sun-Sun primes (October 2003)