Грасгоф, Франц

Шаблон:Однофамильцы Шаблон:Учёный Гра́сгоф, Франц (Шаблон:Lang-de; Шаблон:ДР, Дюссельдорф — Шаблон:ДС, Карлсруэ) — немецкий Шаблон:Механик и машиностроитель.

Биография

Детство и юность

Франц Грасгоф родился 11 июля 1826 года в семье Елизаветы Софии Доротеи Флорентины Брюггеман (Шаблон:Lang-de) и Карла Грасгофа (Шаблон:Lang-de), преподавателя классической филологии в Шаблон:Нп5. Его дядей был придворный художник Отто Грасгоф. Несмотря на гуманитарное окружение в семье, Франц рано проявил интерес к технике; уже с 15 лет он работал слесарем, посещая после работы ремесленное училище.

В октябре 1844 года Франц Грасгоф поступил в Шаблон:Нп5, где изучал математику, физику и машиностроение. Однако в 1847 году Грасгоф, прервав обучение, пошёл на военную службу: год он прослужил добровольцем в стрелковом батальоне, а в 1848—1851 годах служил на флоте матросом и совершил на парусном судне плавания в Нидерландскую Ост-Индию и Австралию. После этого он разочаровался в избранной им было карьере морского офицера (не последнюю роль сыграла близорукость, которой он страдал) и вернулся в Берлин, где с 1852 года продолжал обучение в Королевском коммерческом институте.

Профессиональная карьера

В 1854 году Грасгоф окончил Берлинский Королевский коммерческий институт и остался работать в нём, преподавая математику и механику. В 1856 году группа из 23 молодых инженеров, в которую входил и Грасгоф, основали существующее и поныне Шаблон:Нп5 (Шаблон:Lang-de)Шаблон:Sfn. Грасгоф стал редактором журнала «Zeitschrift des VDI», учреждённого этим обществом и издававшегося начиная с 1 января 1857 года; в нём учёный опубликовал и ряд своих статей по различным вопросам прикладной механикиШаблон:Sfn. В 1860 году Ростокский университет присвоил Францу Грасгофу звание почётного доктора.

Памятник Францу Грасгофу в Карлсруэ

В 1863 году после смерти Фердинанда Редтенбахера Грасгоф стал его преемником на посту профессора кафедры прикладной механики и теории машин Политехникума Карлсруэ. Здесь он читал лекции по сопротивлению материалов, гидравлике, термодинамике и конструированию машин, причём — по общему мнению — его лекции отличались точностью и ясностью языкаШаблон:Sfn.

В 1883 году Грасгоф перенёс инсульт, последствия которого существенно ограничили его творческую активность. В 1891 году последовал новый инсульт, от которого учёный так и не оправился.

Умер 26 октября 1893 года в Карлсруэ.

Научная деятельность

Работы Грасгофа по кинематике

Основное направление исследований Грасгофа — прикладная механика (в частности, кинематика механизмов). Был сторонником аналитических методов в механикеШаблон:Sfn. Из результатов, полученных Грасгофом, в современных учебниках теоретической механики обычно приводится теорема Грасгофа о проекциях скоростей (не всегда — с упоминанием имени автора).

Теорема Грасгофа о проекциях скоростей

Рассмотрим две точки — $A^{*}$ и $B^{*}$ — некоторой механической системы, и пусть $A$ и $B$ — их текущие положения. Теорема Грасгофа о проекциях скоростей в общем случае формулируется следующим образом: «Если на точки $A^{*}$ и $B^{*}$ наложена жёсткая связь, то проекции их скоростей на прямую, соединяющую текущие положения этих точек, равны»:

${\mathrm{p}\mathrm{r}}_{{}_{AB}}{𝐯}_{{}_A}={\mathrm{p}\mathrm{r}}_{{}_{AB}}{𝐯}_{{}_B}$ .

Обычно данную теорему применяют к точкам абсолютно твёрдого тела, и в этом случае её формулируют так: «Проекции скоростей двух произвольных точек твёрдого тела на прямую, соединяющую эти точки, равны между собой»Шаблон:Sfn.

Приведём доказательство этой теоремы. Достаточно показать, что

${\mathrm{p}\mathrm{r}}_{{}_{AB}}({𝐯}_{{}_B}-{𝐯}_{{}_A})\equiv {\mathrm{p}\mathrm{r}}_{{}_{AB}}{𝐯}_{{}_{AB}}=0$

(здесь ${𝐯}_{{}_{AB}}$ — скорость точки $B^{*}$ относительно точки $A^{*}$).

Дифференцируя по времени $t$ условие жёсткой связи

$({𝐫}_{{}_{AB}},{𝐫}_{{}_{AB}})=\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{s}\mathrm{t}$

(представленное в виде условия постоянства скалярного квадрата радиус-вектора точки $B$ относительно точки $A$), получаем:

$(\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}{𝐫}_{{}_{AB}},{𝐫}_{{}_{AB}})+({𝐫}_{{}_{AB}},\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}{𝐫}_{{}_{AB}})\equiv 2({𝐫}_{{}_{AB}},{𝐯}_{{}_{AB}})=0$ .

Итак, $({𝐫}_{{}_{AB}},{𝐯}_{{}_{AB}})=0$ , то есть ${𝐯}_{{}_{AB}}\perp {𝐫}_{{}_{AB}}$ .

Пусть теперь $𝐞={𝐫}_{{}_{AB}}/\left|{𝐫}_{{}_{AB}}\right|$ — единичный вектор оси $AB$. Имеем:

${\mathrm{p}\mathrm{r}}_{{}_{AB}}{𝐯}_{{}_{AB}}=(𝐞,{𝐯}_{{}_{AB}})=\frac{1}{\left|{𝐫}_{{}_{AB}}\right|}({𝐫}_{{}_{AB}},{𝐯}_{{}_{AB}})=0$ .

Теорема доказана.

Скорости двух точек абсолютно твёрдого тела

Теорема Грасгофа о проекциях скоростей нередко оказывается полезной при решении конкретных задач кинематики абсолютно твёрдого тела. Вот — типичный пример.

Пусть $A^{*}$ и $B^{*}$ — точки абсолютно твёрдого тела, $\alpha$ и $\beta$ — углы векторов ${𝐯}_{{}_A}$ и ${𝐯}_{{}_B}$ с прямой $AB$. Найти $V_B$, если известны $V_A$, $\alpha$, $\beta$ (жирный шрифт при наборе $V_B$ не использовался, так что речь идёт о нахождении модуля вектора скорости точки $B^{*}$).

Имеем:

${\mathrm{p}\mathrm{r}}_{{}_{AB}}{𝐯}_{{}_A}={\mathrm{p}\mathrm{r}}_{{}_{AB}}{𝐯}_{{}_B}$ ,

то есть

$V_A\cos \alpha =V_B\cos \beta$ ;

отсюда

$V_B=V_A\frac{\cos \alpha }{\cos \beta }$ .

Решение задачи найдено. Подчеркнём ещё раз, что мы нашли только модуль вектора ${𝐯}_{{}_B}$. Полностью найти вектор ${𝐯}_{{}_B}$, пользуясь только теоремой Грасгофа, мы бы не смогли.

Так обстоят дела и в общем случае. Теорема Грасгофа о проекциях скоростей сама по себе не позволяет решать задачи кинематики до конца: всегда требуется какая-либо дополнительная информация.

Работы Грасгофа по сопротивлению материалов

Грасгоф проявлял большой интерес к сопротивлению материалов и в 1866 году выпустил руководство по данному предмету, переизданное в расширенном виде в 1878 году под названием «Теория упругости и прочности» (Шаблон:Lang-de). Книга стала первой попыткой ввести элементы теории упругости в ориентированный на инженеров курс сопротивления материалов. Причём Грасгоф не ограничивается изложением лишь элементарного сопротивления материалов, но также вводит основные уравнения теории упругости, которыми пользуется при изложении теории изгиба и кручения призматических стержней и теории пластин. В задаче об изгибе стержня Грасгоф находит решения для некоторых форм поперечного сечения, не рассматривавшихся Сен-Венаном. Он продолжает исследования Вейсбаха по изучению сложного напряжённого состояния. В ряде разделов курса Грасгоф находит новые, оригинальные результатыШаблон:Sfn.

Работы Грасгофа по машиноведению

Грасгоф работал также в области машиноведения. Его главный труд — «Теоретическое машиностроение» (тт. 1—3, 1875—1890 гг.), в котором он развил учение Ф. Рёло о кинематических парах и кинематических цепяхШаблон:Sfn.

В данном труде Грасгоф рассматривалШаблон:Sfn движение как плоских, так и пространственных механизмов. Анализируя общий случай движения в пространстве, он указывал, что простая замкнутая цепь принуждённого движения с вращательными кинематическими парами должна состоять из семи звеньев, а также обсуждал возможности уменьшения числа звеньев при частных расположениях осей шарниров.

В учебниках по теории механизмов и машин часто приводится теорема Грасгофа о шарнирном четырёхзвеннике.

Теорема Грасгофа о шарнирном четырёхзвеннике

Данная теорема (иногда именуемая такжеШаблон:Sfn правилом Грасгофа) устанавливает условие существования кривошипа в шарнирном четырёхзвеннике. Речь идётШаблон:Sfn о плоском механизме из трёх подвижных звеньев (то естьШаблон:Sfn твёрдых тел, образующих механизм) 1, 2, 3 и стойки (неподвижного звена) 0, у которого все звенья соединены между собой вращательными кинематическими парами.

Шарнирный четырёхзвенник

Для звеньев плоских механизмов в теории механизмов и машин используютШаблон:Sfn следующую терминологию:

• кривошип — звено плоского механизма, которое образует вращательную пару со стойкой и может совершать вокруг оси пары полный оборот;
• коромысло — звено плоского механизма, которое образует вращательную пару со стойкой, но не может совершать полный оборот вокруг оси пары;
• шатун — звено плоского механизма, связанное вращательными парами с подвижными его звеньями, но не со стойкой.

Теорема Грасгофа о шарнирном четырёхзвеннике формулируется так: "Наименьшее звено является кривошипом, если сумма длин наименьшего и любого другого звена меньше суммы длин остальных двух звеньевШаблон:Sfn (под «наименьшим» понимается звено минимальной длины).

Поясним данную формулировку. Пусть $a$ — длина самого короткого звена (для механизма, изображённого на рисунке, $a=\left|OA\right|$), $d$ — длина одного из соединённых с ним звеньев, $b$ и $c$ — длины остальных звеньев механизма.

Предположим сначала, что $d>b$ и $d>c$ (на рисунке, где $b=\left|AB\right|$, $c=\left|BC\right|$, $d=\left|OC\right|$, это именно так). Элементарный геометрический анализ показываетШаблон:Sfn, что условием полной проворачиваемости звена наименьшей длины относительно звена длины $d$  является выполнение неравенства

$a+d<b+c$ .

Если же $d<b$ или $d<c$, то данное неравенство тем более будет выполняться. Из этих рассмотрений и следуетШаблон:Sfn справедливость теоремы Грасгофа в приведённой выше формулировке (рассмотрение предельного случая, когда неравенство обращается в равенство, мы опускаем).

Применяя правило Грасгофа, удаётся подразделитьШаблон:Sfn все шарнирные четырёхзвенники на 3 группы:

• механизм будет кривошипно-коромысловым, если длины его звеньев удовлетворяют правилу Грасгофа и за стойку принято звено, соседнее с наименьшим;
• механизм будет двухкривошипным, если сумма длин самого короткого и самого длинного звеньев меньше суммы длин остальных звеньев, и за стойку принято самое короткое звено;
• механизм будет двухкоромысловым, если либо правило Грасгофа не выполнено, либо оно выполнено, но самое короткое звено не соединено со стойкой (то есть оно является шатуном и потому не может быть кривошипом).

Так, изображённый на рисунке шарнирный четырёхзвенник является двухкоромысловым механизмом, поскольку правило Грасгофа для него не выполняется.

Работы Грасгофа по теории теплопередачи

Грасгоф работал также в области гидравлики и теплотехники, где изучал, в частности, процессы конвекции. В теории теплопередачи известно названное в его честь число Грасгофа — критерий подобия, определяющий процесс теплообмена при свободном движении в поле гравитации и являющийся мерой соотношения архимедовой (подъёмной) силы, вызванной неравномерным распределением плотности в неоднородном поле температур, и сил межмолекулярного тренияШаблон:Sfn.

Семья

В 1854 году Франц Грасгоф женился на Генриетте Ноттебом (Шаблон:Lang-de), дочери землевладельца. У них родились сын и две дочери; одна из дочерей, Елизавета, позднее вышла замуж за известного архитектора и скульптора Шаблон:Нп5 (Шаблон:Lang-de).

Память

Табличка с названием улицы Грасгофа в Карлсруэ

В 1894 году Шаблон:Нп5 учредило в честь Франца Грасгофа (в 1856—1890 годах — первый директор общества) свою высшую награду — памятную медаль Грасгофа, которая вручается в качестве премии для инженеров, имеющих выдающиеся научные или профессиональные заслуги в области техники.

В 1986 году в Карлсруэ был воздвигнут памятник Францу Грасгофу. В честь него названы улицы в Бремене, Дюссельдорфе, Карлсруэ и Мангейме.

Публикации

• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга

Литература

• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга