Бюджетное множество

Бюджетное множество — понятие, используемое в микроэкономике (в теории потребительского поведения), обозначающее подмножество множества допустимых альтернатив (потребительских наборов) с учётом экономических (бюджетных) ограничений, под которыми понимаются ограничения расходов потребителя его доходами и (или) первоначальными запасами экономических благ.

Формальное определение

Пусть $X$ — множество (потенциально) допустимых альтернатив (потребительских наборов), $p$ — неотрицательный вектор цен экономических благ, $R$ — доход потребителя. Тогда бюджетное множество определяется как множество альтернатив $x\in X$, для которых выполнено неравенство $px⩽R$, то есть:

$B(p,R)=\{x\in X|px⩽R\}$

Бюджетное ограничение может быть связано с начальным запасом благ $x_0$, то есть доходом в данном случае может быть только доход от продажи каких-то начальных запасов. Тогда бюджетное множество определяется следующим образом:

$B^{*}(p,x_0)=\{x\in X|px⩽p{x}_0\}=\{x\in X|p(x-x_0)⩽0\}$

То есть стоимость покупок не превышает стоимость продаж.

Естественно, возможно также совмещение, то есть доход может быть как внешним, так и связанным с начальными запасами.

Свойства

В первую очередь бюджетные множества предполагаются непустыми. В случае бюджетного множества $B(p,R)$ для этого достаточно, чтобы доход $R$ был больше минимально необходимого для приобретения хотя бы одного допустимого набора, то есть $R>\underset{x\in X}{\inf }px$. В случае бюджетного множества $B^{*}(p,x_0)$ это условие означает лишь то, что начальный вектор принадлежит допустимому множеству $X$, что изначально предполагается.

Бюджетное множество является замкнутым, ограниченным) и выпуклым множеством. Для ограниченности формально необходимо (и достаточно), чтобы вектор цен был строго больше нуля (то есть все цены должны быть положительными). Замкнутость и ограниченность бюджетного множества обеспечивают существование решения задачи потребителя (см. ниже).

Бюджетное множество $B(p,R)$ является «однородным нулевой степени», то есть если цены и доход умножить на одно и то же число, то получим то же бюджетное множество. В случае бюджетного множества $B^{*}(p,x_0)$ это означает «однородность нулевой степени» по вектору цен.

При фиксированном векторе цен бюджетное множество с меньшим доходом является подмножеством бюджетного множества с большим доходом. При фиксированном доходе бюджетное множество с большими ценами является подмножеством бюджетного множества с меньшими ценами.

Задача потребителя

Бюджетное множество используется в так называемой прямой (маршаллианской) задаче потребителя, заключающейся в максимизации функции полезности $u(x)$ на бюджетном множестве альтернатив $B$:

$\{\begin{array}{c}u(x)\to \max \\ x\in B\subset X\end{array}$

В частности, для бюджетного ограничения по доходу задача имеет вид:

$\{\begin{array}{c}u(x)\to \max \\ px⩽R,x\in X\end{array}$

При непрерывной функции полезности с учётом свойств компактности (ограниченности и замкнутости) бюджетного множества задача потребителя всегда имеет решение.

См. также

• Функция полезности
• Модель Эрроу-Дебрё

Литература

• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга(Учебники экономического факультета МГУ и. М. В. Ломоносова)
• Шаблон:Книга