Теорема Лагерра

Теорема Лагерра - теорема о свойствах производной целой функции.

Формулировка

Пусть $f(z)$ - целая функция порядка, меньшего чем 2, вещественная при вещественных значениях $z$ и с вещественными нулями. Тогда нули производной $f^{\prime }(z)$ также все вещественны и отделены друг от друга нулями функции $f(z)$.

Пояснения

Целая функция есть аналитическая функция, не имеющая особенностей в конечной части плоскости. Целая функция $f(z)$ называется функцией конечного порядка, если существует такое положительное число $A$, что при $|z|=r\to \mathrm{\infty }$ выполняется равенство $f(z)=O(e^{r^A})$. Нижняя грань $\rho$ чисел $A$ в этом равенстве называется порядком функции.

Литература

• Е. Титчмарш Теория функций, М., Наука, 1980, 2-е изд., 461 стр.