Топологическая энтропия

Шаблон:Значения Топологическая энтропия — в теории динамических систем неотрицательное вещественное число, которое является мерой сложности системы.

Определение

Пусть задано непрерывное отображение T метрического компакта (X,d) в себя. Тогда метрика $d_n$ на X определяется как

$d_n(x,y)=\underset{0\le j\le n}{\max }d(T^j(x),T^j(y)),$

иными словами, это максимальное расстояние, на которое орбиты x и y расходятся за n итераций. Далее, для заданного $\epsilon >0,$ говорят, что множество — $(n,\epsilon )$-отделённое, если попарные $d_n$-расстояния между его точками не меньше $\epsilon$, и мощность наибольшего такого множества обозначается через $N(n,\epsilon )$. Тогда топологической энтропией отображения T называется двойной предел

$h(T)=\underset{\epsilon \to 0}{\lim }\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\mathrm{lim\; sup}}\frac{1}{n}\log N(n,\epsilon ).$

Эта же величина может быть определёна иначе: если обозначить через $M(n,\epsilon )$ мощность наименьшей $\epsilon$-сети, то

$h(T)=\underset{\epsilon \to 0}{\lim }\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\mathrm{lim\; sup}}\frac{1}{n}\log M(n,\epsilon ).$

Эквивалентность этих определений легко выводится из неравенств $N(n,\epsilon )\le M(n,\epsilon )\le N(n,\epsilon /2).$ И то, и другое определение формализуют следующее нестрогое понятие: для неизвестной начальной точки, какое количество информации нужно получить в расчёте на одну итерацию, чтобы предсказать большое количество итераций с небольшой фиксированной ошибкой.

Литература

• Шаблон:Статья
• Dmitri Anosov (2001), «T/t093040», in Hazewinkel, Michiel, Encyclopedia of Mathematics, Springer, ISBN 978-1-55608-010-4
• Шаблон:Книга