Теорема Шмидта

Теорема Шмидта - теорема о свойствах расширения локально конечной группы.

Формулировка

Расширение $G$ локально конечной группы $A$ посредством локально конечной группы $G/A$ само локально конечно.

Доказательство

Проверим, что каждое конечное множество $M$ из $G$ порождает конечную подгруппу. По условию факторгруппа $gr(M,A)/A$ конечна. Увеличив, если нужно, множество $M$, будем считать, что оно замкнуто относительно обратных элементов и содержит представители всех смежных классов $gr(M,A)$ по $A$. Тогда для любых $x,y\in M$ $xy=\overline{xy}{a}_{x,y}$, где $\overline{xy}\in M$, $a_{x,y}\in A$. Отсюда следует, что любое произведение элементов из $M$ можно записать как произведение некоторого элемента из $M$ на произведение нектороых $a_{x,y}$. Так как всевозможные $a_{x,y}$ порждают конечную подгруппу, то всё доказано.

Литература

• Каргаполов, М. И., Мерзляков Ю. И. Основы теории групп. — М. : Наука, 1972. — С. 208.