Неравенство Лоясевича

Неравенство Лоясевича — неравенство, установленное польским математиком Шаблон:Iw, дающее верхнюю оценку для расстояния от точки произвольного компакта до множества нулевого уровня вещественной аналитической функции многих переменных. Это неравенство находит применения в различных разделах математики, в том числе, в вещественной алгебраической геометрии, в анализе, в теории дифференциальных уравнений .

Формулировка

Пусть функция $f:U\to ℝ$ является вещественно аналитической на непустом открытом множестве $U\subset {ℝ}^n$ и пусть $Z=\{x\in U:f(x)=0\}$ — множество нулей функции $f$. Если множество $Z$ непусто, то для любого непустого компакта $K\subset U$ существуют такие константы $\alpha \ge 2$ и $C>0$, что имеет место неравенство

$\underset{z\in Z}{\inf }|x-z{|}^{\alpha }\le C|f(x)|\mathrm{\forall }x\in K,$

число $\alpha$ в котором может быть достаточно большим.

Кроме того, для любой точки $p\in U$ существует достаточно малая её окрестность $W\subset U$ и такие константы $0<\beta <1$ и $C>0$, что имеет место второе неравенство Лоясевичаː

$|f(x)-f(p){|}^{\beta }\le C|\mathrm{\nabla }f(x)|\mathrm{\forall }x\in W.$

Из второго неравенства очевидно следует, что для каждой критической точки вещественно аналитической функции существует такая окрестность, что функция принимает то же самое значение во всех критических точках из этой окрестности.

Литература

• Tobias Holck Colding, William P. Minicozzi II, Lojasiewicz inequalities and applications, arXiv:1402.5087 Шаблон:Wayback
• Мальгранж Б. Идеалы дифференцируемых функций. — М.: Мир, 1968.
• Шаблон:Citation Шаблон:Wayback
• Шаблон:Citation Шаблон:Wayback