Константа Каэна

Константа Каэна — сумма знакочередующегося числового ряда, строящегося из членов ряда Сильвестра:

$C=\sum \frac{(-1{)}^i}{s_i-1}=\frac{1}{1}-\frac{1}{2}+\frac{1}{6}-\frac{1}{42}+\frac{1}{1806}-\cdots$,

где $s_i$ — $i$-й элемент последовательности Сильвестра. Приблизительное значение — Шаблон:Num.

Названа по имени впервые исследовавшего данный ряд французского математика Шаблон:Нп2Шаблон:Sfn.

Может быть получена как сумма знакопостоянного ряда, образованного слагаемыми, обратными чётным членам последовательности Сильвестра (последовательностью приближений жадного алгоритма для египетских дробей):

$C=\sum \frac{1}{s_{2i}}=\frac{1}{2}+\frac{1}{7}+\frac{1}{1807}+\frac{1}{10650056950807}+\cdots$.

Константа трансцендентнаШаблон:Sfn, притом является одним из немногих трансцендентных чисел, для которых известна полная цепная дробь — для последовательности 1, 1, 2, 3, 14, 129, 25298, 420984147, …, определённой рекуррентным уравнением $q_{n+2}=q_n^2{q}_{n+1}+q_n$, цепная дробь, соответствующая константе Каэна, представляется следующим образомШаблон:Sfn:

$[0,1,q_0^2,q_1^2,q_2^2,\dots ]$.

Литература

• Шаблон:Статья
• Шаблон:Статья

Ссылки

• Шаблон:Mathworld
• Шаблон:Cite web