Уравнение Стейнхарта — Харта

Уравне́ние Сте́йнхарта — Ха́рта — математическая модель, описывающая сопротивление полупроводниковых терморезисторов с отрицательным температурным коэффициентом электрического сопротивления в зависимости от температуры.

В наиболее общем виде это уравнение:

$\frac{1}{T}=\sum _{i=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_i{\ln }^i(R)=$

$=a_0+a_1\ln (R)+a_2{\ln }^2(R)+a_3{\ln }^3(R)+a_4{\ln }^4(R)+\dots$

где: $T$ — абсолютная температура (в Кельвинах);

$R$ — сопротивление при температуре $T$ (в Омах);

$a_i$ - коэффициенты уравнения Стейнхарта — Харта, зависящие от начального сопротивления терморезистора, его типа.

В практических расчётах членом суммы $a_2{\ln }^2(R)$ и последующими членами $a_4{\ln }^4(R)+\dots$ обычно пренебрегают так как они, как правило, вносят несущественный вклад в точность результата расчётов по уравнению.

Поэтому уравнение обычно записывают так:

$\frac{1}{T}=A+B\ln (R)+C[\ln (R){]}^3,$

где $A=a_0,$ $B=a_1,$ $C=a_3.$

Коэффициенты $A$, $B$, $C$ зависят от параметров терморезистора и от диапазона температур в котором это уравнение даёт достаточную для практического применения точность.

Обратное уравнение

Для вычисления сопротивления терморезистора при заданной температуре используется обратное уравнение Стейнхарта — Харта:

$R=\exp (\sqrt[3]{y-\frac{x}{2}}-\sqrt[3]{y+\frac{x}{2}}),$

где

$\begin{array}{cc}x& =\frac{1}{C}(A-\frac{1}{T}),\\ y& =\sqrt{{\left(\frac{B}{3C}\right)}^3+{\left(\frac{x}{2}\right)}^2}.\end{array}$

Экспериментальное определение коэффициентов уравнения Стейнхарта — Харта

Если коэффициенты уравнения неизвестны для конкретного терморезистора, то они могут определены экспериментально по трём сопротивлениям терморезистора при трёх разных температурах.

Коэффициенты находятся как решения системы из трёх уравнений:

$\left[\begin{array}{ccc}1& \ln \left(R_1\right)& {\ln }^3\left(R_1\right)\\ 1& \ln \left(R_2\right)& {\ln }^3\left(R_2\right)\\ 1& \ln \left(R_3\right)& {\ln }^3\left(R_3\right)\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}A\\ B\\ C\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}\frac{1}{T_1}\\ \frac{1}{T_2}\\ \frac{1}{T_3}\end{array}\right]$

где $R_1$, $R_2$ и $R_3$ — значения сопротивления при температуре $T_1$, $T_2$ и $T_3$ соответственно.

Подстановки и решение системы:

$\begin{array}{cc}{L}_1& =\ln \left(R_1\right),L_2=\ln \left(R_2\right),L_3=\ln \left(R_3\right)\\ Y_1& =\frac{1}{T_1},Y_2=\frac{1}{T_2},Y_3=\frac{1}{T_3}\\ {\gamma }_2& =\frac{Y_2-Y_1}{L_2-L_1},{\gamma }_3=\frac{Y_3-Y_1}{L_3-L_1}\\ \Rightarrow C& =\left(\frac{{\gamma }_3-{\gamma }_2}{L_3-L_2}\right){(L_1+L_2+L_3)}^{-1}\\ \Rightarrow B& ={\gamma }_2-C(L_1^2+L_1{L}_2+L_2^2)\\ \Rightarrow A& =Y_1-(B+L_1^{2}C)L_1\end{array}$

Применение уравнения

Уравнение позволяет по измеренному сопротивлению терморезистора вычислить его температуру и обратно — по температуре терморезистора вычислить его сопротивление и обеспечивает хорошую точность во всем рабочем диапазона температур, например, терморезистивного термометра.

Коэффициенты входящие в уравнение Стейнхарта — Харта обычно публикуются производителями терморезисторов в справочных данных на конкретные типы терморезисторов.

Скрипт на Ruby для расчета

#!/usr/bin/env ruby

puts puts "\t\u2318\u2318 You're using Ruby ver. " + RUBY_VERSION + "\t\u2318\u2318"

$k = 273.15

E = ( Math::E )

def ln(x)
  ( ln = Math.log(x) )
end 

def sqrt(x)
  ( sqrt = Math.sqrt(x) )
end 

def cbrt(x)
  ( cbrt = Math.cbrt(x) )
end 

def exp(x)
  ( exp = Math.exp(x) )
end 
#-----------------------------------
def arr_abc(t1, r1, t2, r2, t3, r3)
  y1 = 1 / t1; y2 = 1 / t2; y3 = 1 / t3 
  l1 = ln(r1); l2 = ln(r2); l3 = ln(r3)

  g2 = (y2 - y1) / (l2 -l1)
  g3 = (y3 - y1) / (l3 -l1)

  c = ((g3 -g2) / (l2 - l1)) / (l1 + l2 + l3)
  b = g2 - c * (l1 ** 2 + l1 * l2 + l2 ** 2)
  a = y1 - (b + c * l1 ** 2) * l1
	
  arr_abc = [a, b, c]
end

=begin 
# Прмер ввода экспериментальных данных:

t1 =  0 + $k; r1 = 32.014e+3
t2 = 40 + $k; r2 =  5.372e+3
t3 = 70 + $k; r3 =  1.7942e+3

# -------------------------------------
=end
# Расчёт:

tmp = arr_abc(t1, r1, t2, r2, t3, r3)
a_t = tmp[0]; b_t = tmp[1]; c_t = tmp[2]

#puts "A = #{a_t}, B = #{b_t}, C = #{c_t}"

#------------------------
=begin
# Данные для проверки:
t = 55; t = t + $k
=end

x = (a_t - 1 / t) / c_t
y = sqrt((b_t / (3 * c_t)) ** 3 + (x / 2) ** 2)

#--------------------------

# Расчет сопротивления по температуре: 
r_tmp = exp( cbrt(y - (x / 2)) - cbrt(y + (x / 2)) )

puts "T = #{t - $k}°C, R = #{(r_tmp).round(1)} Ω"

# Расчет температуры по сопротивлению:
t_r = 1 / (a_t + b_t * ln(r_tmp) + c_t * ((ln(r_tmp).abs) ** 3) )

puts "R = #{(r_tmp).round(1)} Ω, T = #{(t_r - $k).round(2)}°C"

Результат:
T = 55.0°C, R = 3052.2 Ω
R = 3052.2 Ω, T = 55.0°C

Из datasheet для EPCOS R/T:4901; B25/100: 3950K
 — 3.0393 kΩ —

Авторы уравнения

Уравнение названо в честь Джона Стейнхарта (John S. Steinhart) и Стэнли Харта (Stanley R. Hart), впервые опубликовавших его в 1968 г.

Профессор Стейнхарт (1929—2003), член Американского Геофизического Союза и Американской ассоциации содействующей развитию науки, был членом факультета Висконсинского университета в Мадисоне с 1969 по 1991 гг.

Доктор Харт, старший научный сотрудник в Woods Hole Oceanographic Institution с 1989 и член Геологического сообщества Америки, Американского Геофизического Союза, геохимического сообщества и европейской ассоциации геохимии, работал с профессором Стейнхартом в институте Карнеги в Вашингтоне, где было предложено это уравнение.

Ссылки

• Калькулятор уравнения Стейнхарта —ХартаШаблон:Ref-en