Конформное отображение

Конформное отображение — непрерывное отображение, сохраняющее углы между кривыми, а значит и форму бесконечно малых фигур.

Определение

Взаимно однозначное отображение области $D$ на область $D^{*}$ (евклидова пространства или риманова многообразия) называется конформным (Шаблон:Lang-la — подобный), если в окрестности любой точки D дифференциалом этого преобразования является композиция ортогонального преобразования и гомотетии.

Этот термин пришёл из комплексного анализа, изначально использовался только для конформных отображений областей плоскости.

Связанные определения

• Если при конформном отображении сохраняется ориентация, то говорят о конформном отображении первого рода; если же она меняется на противоположную, то говорят о конформном отображении второго рода либо антиконформном отображении .
• Две метрики $g,\tilde{g}$ на гладком многообразии $M$ называются конформноэквивалентными если существует гладкая функция $\psi :M\to ℝ$ такая что $\tilde{g}=e^{2\cdot \psi }g$. В этом случае функция $e^{\psi }$ называется конформным фактором $\tilde{g}$.

Свойства

Пример конформного отображения. Видно, что перпендикулярность сохраняется.

• Конформное отображение сохраняет форму бесконечно малых фигур;
• Конформное отображение сохраняет углы между кривыми в точках их пересечения (свойство сохранения углов).
  • Это свойство можно также взять за определение конформного отображения.
• Теорема Римана: Любая односвязная открытая область в плоскости, отличная от всей плоскости, допускает конформную биекцию на единичный диск.
• Теорема Лиувилля: Всякое конформное отображение области евклидова пространства ${ℝ}^n$ при $n\ge 3$ можно представить в виде суперпозиции конечного числа инверсий.
• Кривизна Вейля сохраняется при конформном отображении, то есть если $\tilde{g}$ и $g$ — конформноэквивалентные метрические тензоры, то

  $\tilde{W}(X,Y)Z=W(X,Y)Z,$

где $\tilde{W}$ и $W$ обозначают тензоры Вейля для $\tilde{g}$ и $g$ соответственно.

• Для конформно-эквивалентых метрик $\tilde{g}=e^{2\psi }\cdot g$

• Связности связаны следующей формулой:

  ${\tilde{\mathrm{\nabla }}}_{X}Y={\mathrm{\nabla }}_{X}Y+(X\psi )\cdot Y+(Y\psi )\cdot X-g(X,Y)\cdot \mathrm{\nabla }\psi .$

• Кривизны связаны следующей формулой:

  $g(\tilde{R}(X,Y)Y,X)=g(R(X,Y)Y,X)-$

  $-{\mathrm{H}\mathrm{e}\mathrm{s}\mathrm{s}}_{\psi }(X,X)-{\mathrm{H}\mathrm{e}\mathrm{s}\mathrm{s}}_{\psi }(Y,Y)-|\mathrm{\nabla }\psi {|}^2+(Y\psi {)}^2$

если $g(X,X)=g(Y,Y)=1,g(X,Y)=0,X\psi =0$ а ${\mathrm{H}\mathrm{e}\mathrm{s}\mathrm{s}}_{\psi }$ обозначает Гессиан функции $\psi$.

• В двумерном случае $|\mathrm{\nabla }\psi {|}^2=(Y\psi {)}^2$, поэтому формулу можно записать как

$e^{2\cdot \psi }\cdot \tilde{K}=K-\mathrm{\Delta }\psi$

где $\mathrm{\Delta }$ обозначает лапласиан по отношению к $g$.

• Для ортонормированной пары векторов $X$ и $Y$, секционную кривизну в направленнии $X\wedge Y$ можно записать в следующем виде:

  ${\tilde{K}}_{X,Y}=f^2\cdot K_{X,Y}+f\cdot [{\mathrm{H}\mathrm{e}\mathrm{s}\mathrm{s}}_f(X,X)+{\mathrm{H}\mathrm{e}\mathrm{s}\mathrm{s}}_f(Y,Y)]-|\mathrm{\nabla }f{|}^2,$

где $f=e^{-\psi }$.

• При вычислении скалярной кривизны $n$-мерного риманова многообразия при $n⩾3$, удобнее записывать конформный фактор в виде $\tilde{g}=u^{\frac{4}{n-2}}\cdot g$. В этом случае:

  $\widetilde{Sc}=(Sc\cdot u-\frac{4\cdot (n-1)}{n-2}\cdot \mathrm{\Delta }u)\cdot u^{\frac{n-2}{n+2}}$

• Линейный оператор $u\mapsto \frac{n-2}{4\cdot (n-1)}\cdot Sc\cdot u-\mathrm{\Delta }u$ называется конформным лапласианом.

Примеры

Дисторсия (посередине и справа) как пример неконформного отображения квадрата.

• Простейший пример — преобразования подобия, ими исчерпываются все конформные отображения всего евклидова пространства на себя;
• Инверсия — конформное отображение второго рода;
• Любая голоморфная функция, обратная к которой также голоморфна, определяет конформное отображение первого рода соответствующей области комплексной плоскости;
• Стереографическая проекция.

История

Исследованием конформных отображений занимались [[Эйлер, Леонард|Шаблон:Nobr]], [[Риман, Бернхард|Шаблон:S]], [[Гаусс, Карл Фридрих|Шаблон:S]], [[Пуанкаре, Жюль Анри|Шаблон:S]], [[Каратеодори, Константин|Шаблон:S]], [[Жуковский, Николай Егорович|Шаблон:S]], [[Чаплыгин, Сергей Алексеевич|Шаблон:S]], М. А. Лаврентьев.

Применение

Конформное отображение применяется в космологии, в картографии, электростатике для расчёта распределения электрических полей, механике сплошных сред (гидро- и аэромеханика, газовая динамика, теория упругости, теория пластичности и др.).

Литература

• Алешков Ю. З. Лекции по теории функции комплексного переменного, СПб.: изд-во СПбГУ, 1999;
• Шаблон:Статья
• Каратеодори К. Конформное отображение. М.—Л.: ОНТИ Государственное технико-теоретическое издательство, 1934 / Пер. с англ. М. В. Келдыша
• Лаврентьев М. А. Конформные отображения. М.—Л.: Гостехиздат, 1946. 160 c.
• Шаблон:Книга
• Янушаускас А. И. Трёхмерные аналоги конформных отображений. Новосибирск: Наука, 1982. 173 с., 2650 экз.
• Радыгин В. М., Полянский И. С. Методы конформных отображений многогранников в ${ℝ}^3$ // Вестн. Удмуртск. ун-та. Матем. Мех. Компьют. науки, 27:1 (2017), 60-68.

См. также

• Условия Коши — Римана
• Теорема Римана об отображении
• Теорема Шварца — Кристоффеля
• Диффеоморфизм
• Принцип соответствия границ

Ссылки

• Примеры конформных отображений, осуществляемых некоторыми элементарными функциями.