Задача Келети о квадратах

Контрпример из пяти квадратов, построенный Киссом и Виднявским.

Задача Келети — вопрос комбинаторной геометрии про верхнюю оценку на отношение периметра к площади объединения равных квадратов. Сформулирован Тамасом Келети в 1998 году. В 2014 году был найден контрпример.

Формулировка

Предположим $F$ — объединение конечного числа единичных квадратов на плоскости. Верно ли, что

$\frac{P(F)}{S(F)}\le 4,$

где $P(F)$ обозначает периметр, а $S(F)$ площадь $F$.

Замечания

• Если все у всех квадратов совпадают центры, то выполняется равенство.

  $\frac{P(F)}{S(F)}=4.$

История

• Тамас Келети доказал, что отношение ограничено сверху некоторой константой.
• Генеш доказал, что

  $\frac{P(F)}{S(F)}\le 5,6.$

Он также доказал,

$\frac{P(F)}{S(F)}\le 4$

в трёх случаях:

• если все квадраты из семейства получаются друг из друга параллельным переносом,
• если квадраты имею общий центр
• если число квадратов равно 2.

• В 2014 году, Виктор Кисс и Золтен Виндянски построили контрпример из 5 квадратов. Они также построили пример с отношением около $4,28$.

Вариации и обобщения

• По теореме Келети, для данного многоугольника K, частное периметра к площади у произвольного объединения многоугольников равных K, ограничено сверху.
• Аналогичные задачи для правильных многоугольников также имеют контрпримеры. То есть для правильного многоугольника K существует конечный набор равных многоугольников с объединением F такой, что

$\frac{P(F)}{S(F)}>\frac{P(K)}{S(K)}.$

Ссылки

• Pálvölgyi Dömötör, Is the ratio Perimeter/Area for a finite union of unit squares at most 4?, MathOverflow.