Суперчисло Пуле

Суперчисло Пуле — это число Пуле (то есть псевдопростое число Ферма по основанию 2), любой делитель d которого делит

2^d − 2.

Если составное число является псевдопростым по основанию 2, но не по любому основанию (то есть не является числом Кармайкла), то оно является суперчислом Пуле, а если $\frac{{\mathrm{\Phi }}_n(2)}{gcd(n,{\mathrm{\Phi }}_n(2))}$ не является простым, то оно и все его делители являются псевдопростыми по основанию 2 и суперчислами Пуле.

Существует бесконечно много чисел Пуле, не являющихся суперчислами Пуле. Например, 561 = 3 ⋅ 11 ⋅ 17 является числом Пуле (так как 2⁵⁶⁰ − 1 делится на 561), но не является суперчислом Пуле (так как 2³³ − 2 не делится на 33).

Примеры

Например, 341 является суперчислом Пуле — он имеет положительные делители {1, 11, 31, 341} и выполняется:

(2¹¹ − 2) / 11 = 2046 / 11 = 186

(2³¹ − 2) / 31 = Шаблон:Num / 31 = Шаблон:Num

(2³⁴¹ − 2) / 341 = Шаблон:Num

Суперчисла Пуле, меньшие Шаблон:Num:

n
1	341 = 11 ⋅ 31
2	1387 = 19 ⋅ 73
3	2047 = 23 ⋅ 89
4	2701 = 37 ⋅ 73
5	3277 = 29 ⋅ 113
6	4033 = 37 ⋅ 109
7	4369 = 17 ⋅ 257
8	4681 = 31 ⋅ 151
9	5461 = 43 ⋅ 127
10	7957 = 73 ⋅ 109
11	8321 = 53 ⋅ 157

Суперчисла Пуле с 3 и более различными простыми делителями

Относительно легко получить суперчисла Пуле с 3 различными простыми делителями. Если вы найдено три числа Пуле с тремя общими простыми делителями, вы из получается суперчисло Пуле как произведение этих трёх делителей.

Пример:

2701 = 37 ⋅ 73, число Пуле,

4033 = 37 ⋅ 109, число Пуле,

7957 = 73 ⋅ 109, число Пуле.

Тогда Шаблон:Num = 37 ⋅ 73 ⋅ 109 является также числом Пуле.

Суперчисла Пуле с 7 различными делителями можно получить из следующих чисел:

• { 103, 307, 2143, 2857, 6529, Шаблон:Num, Шаблон:Num }
• { 709, 2833, 3541, Шаблон:Num, Шаблон:Num, Шаблон:Num, Шаблон:Num }
• { 1861, 5581, Шаблон:Num, Шаблон:Num, Шаблон:Num, Шаблон:Num, Шаблон:Num }
• { 6421, Шаблон:Num, Шаблон:Num, Шаблон:Num, Шаблон:Num, Шаблон:Num, Шаблон:Num }

Например, Шаблон:Num = 6421 ⋅ Шаблон:Num ⋅ Шаблон:Num ⋅ Шаблон:Num ⋅ Шаблон:Num ⋅ Шаблон:Num ⋅ Шаблон:Num является суперчислом Пуле с 7 различными простыми делителями и 120 числами Пуле.

Ссылки

• Шаблон:Mathworld
• Numericana