Монотонный оператор

Монотонный оператор — оператор, удовлетворяющий условию монотонности. Понятие монотонного оператора является обобщением понятия монотонной функции. Широко применяется в функциональном анализе при исследовании и приближённом решении краевых задач для дифференциальных уравнений с частными производными.

Определение

Пусть $X$ — линейное топологическое пространство, $u,v$ — произвольные элементы $u,v\in X$. Обозначим $⟨u,v⟩$ скалярное произведение элементов $u,v$, $\Vert .\Vert$ — норма в пространстве $X$. Оператор $A\in (X\to X^{*})$ называется:

• монотонным, если $⟨Au-Av,u-v⟩⩾0$;
• строго монотонным, если $⟨Au-Av,u-v⟩>0$ для $u\ne v$;
• d - монотонным, если $⟨Au-Av,u-v⟩⩾(\alpha (\Vert u\Vert )-\alpha (\Vert v\Vert ))(\Vert u\Vert -\Vert v\Vert )$ для некоторой строго возрастающей функции $\alpha$ на $[0,\mathrm{\infty })$;
• равномерно монотонным, если $⟨Au-Av,u-v⟩⩾\rho (\Vert u-v\Vert )$ для некоторой строго возрастающей функции $\rho$ на $[0,\mathrm{\infty })$ с $\rho (0)=0$;
• сильно монотонным (c постоянной монотонности m), если $⟨Au-Av,u-v⟩⩾m\Vert u-v{\Vert }^2$, $m>0$;
• радиально непрерывным, если при любых фиксированных $u,v\in X$ вещественная функция $s\to ⟨A(u+sv),v⟩$ непрерывна на $[0,1]$;
• коэрцитивным, если существует определённая на $[0,\mathrm{\infty })$ вещественная функция $\gamma$ с $\underset{s\to \mathrm{\infty }}{\lim }=+\mathrm{\infty }$, такая, что $⟨Au,u⟩⩾\gamma (\Vert u\Vert )\Vert u\Vert$.

Термин Монотонный оператор впервые ввел Вайнберг М. М.

Основная теорема теории монотонных операторов

Пусть $A\in (X\to X^{*})$ — радиально непрерывный монотонный коэрцитивный оператор. Тогда множество решений уравнения $Au=f$ при любом $f\in X*$ непусто, слабо замкнуто и выпуклоШаблон:Sfn.

Литература

• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга