Оператор Перрона — Фробениуса

Оператор Перрона — Фробениуса — оператор, описывающий изменение с течением времени плотности вероятности в фазовом пространстве состояний динамической системы. Назван в честь немецких математиков Фердинанда Фробениуса и Оскара Перрона.

Определение

Рассмотрим ансамбль траекторий динамической системы, начальные данные для которого распределены в фазовом пространстве с некоторой плотностью вероятностей $P(x)$. Пусть с течением времени состояние динамической системы в фазовом пространстве изменяется $x(t)=\phi (x,t)$. При этом плотность вероятности изменяется: $P(x,t)=L(P(x),t)$. Оператор $L$ называется оператором Перрона-ФробениусаШаблон:Sfn.

Примеры

• Рассмотрим отображение $x_{n+1}=f(x_n)$. Пусть на $n$-м шаге в фазовом пространстве определена плотность вероятности $p_n(x)$. Тогда для плотности вероятности на следующем шаге получим: $p_{n+1}(y)=\int \delta (f(x)-y)p_n(x)dx=L(p_n)$. Здесь оператор $L$ называется оператором Перрона — Фробениуса для отображения $f(x)$Шаблон:Sfn. Он является линейным несамосопряжённым оператором.

См. также

• Теорема Фробениуса — Перрона

Литература

• Шаблон:Книга