Теорема Решетняка о мажоризации

Теорема Решетняка о мажоризации — удобная характеризация CAT(k) пространств.

Доказана Юрием Григорьевичем Решетняком в 1960, в той же статье он доказал теорему о склеивании.

Формулировка

Пусть $X$ — CAT(κ) пространство и $\gamma :{𝕊}^1\to X$ замкнутая спрямляемая кривая. В слуачае если $\kappa >0$, предположим дополнительно, что $\gamma$ короче чем $\frac{2\cdot \pi }{\sqrt{\kappa }}$. Тогда найдётся выпуклая фигура $\mathrm{\Phi }$ в $\kappa$-плоскости сравнения с периметром равным длине $\gamma$ и короткое отображение $s:\mathrm{\Phi }\to X$ такое, сужение $s{|}_{\partial \mathrm{\Phi }}$ совпадает с $\gamma$.

Замечания

• Отображение $s:\mathrm{\Phi }\to X$ в формулировке называется мажоризацией $\gamma$.
• Выпуклая фигура $\mathrm{\Phi }$ называется мажоризатором $\gamma$.

Следствия

• Любая замкнутая геодезическая в CAT(1) пространстве имеет длину не меньше $2\cdot \pi$.

Литература

• Шаблон:Статья