Теорема о приведении матрицы к диагональной форме

Теорема о приведении матрицы к диагональной форме — утверждение о возможности приведения диагонализируемой вещественной квадратной матрицы к диагональному виду при помощи умножения на две вещественные ортогональные матрицы. Допускает обобщение на случай любой вещественной матрицы. Имеет большое значение в линейной алгебре и вычислительной математике.

Формулировка

Для диагонализируемой вещественной квадратной матрицы $A$ размера $n\times n$ существуют две вещественные ортогональные $n\times n$ матрицы $U$ и $V$, такие, что $U^{T}AV$ диагональная матрица $D$. При этом можно выбрать $U$ и $V$ так, чтобы диагональные элементы $D$ имели вид: ${\mu }_1⩾{\mu }_2⩾...⩾{\mu }_r>{\mu }_{r+1}=...={\mu }_n=0$, где $r$ - ранг матрицы $A$. В том случае, если $A$ невырожденна, ${\mu }_1⩾{\mu }_2⩾...⩾{\mu }_n>0$Шаблон:Sfn.

Обобщение

Для любой вещественной матрицы $A$ ранга $r$, имеющей $n$ строк и $k$ столбцов существуют вещественная ортогональная $n\times n$ матрица $U$ и вещественная ортогональная $k\times k$ матрица$V$, такие, что $U^{T}AV$ является $n\times k$ матрицей вида:

$D=\left[\begin{array}{cccc}{\mu }_1& 0& \cdots & 0\\ 0& {\mu }_2& \cdots & 0\\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ 0& 0& \cdots & 0\end{array}\right]$

где ${\mu }_1⩾{\mu }_2⩾...⩾{\mu }_r>0$Шаблон:Sfn.

Литература

• Шаблон:Книга