Дэвис, Мартин (математик)

Мартин Дэвид Дэвис (Шаблон:Lang-en, 8 марта 1928 — 1 января 2023) — американский Шаблон:Математик, известный своей работой, которая посвящена десятой проблеме Гильберта.

Биография

Родители Дэвиса иммигрировали в США из города Лодзь (Польша). Встретившись уже в Нью-Йорке, они поженились. Дэвис родился и вырос в городе Бронкс. Родители с детства поощряли Мартина получить высшее образование.

В 1950 году под руководством Алонзо Черча Мартин получил степень доктора в Принстонском университете, который является одним из старейших и самых престижных университетов США.

Взнос

Дэвис — один из изобретателей Шаблон:Нп5 и алгоритма DPLL. Также он известен благодаря своей модели машины Поста.

Десятая проблема Гильберта

В 30-х годах XX века формализуется понятие алгоритм, а также появляются первые примеры алгоритмически неразрешимых теорий в математической логике. Важным моментом стало доказательство Андреем Марковым и Эмилем Постом (независимо друг от друга) неразрешимости Шаблон:Нп5 в 1947 году. Это было первое доказательство неразрешимости алгебраической задачи. Трудности, с которыми столкнулись исследователи диофантовых уравнений, вызвали предположение, что необходимого Гильбертом алгоритма не существует. Немного ранее, в 1944 году, Эмиль Пост в одной из своих работ уже писал, что десятая проблема «молит о доказательстве неразрешимости» (Шаблон:Lang-en).

Гипотеза Дэвиса

Слова Поста вдохновили студента Мартина Дэвиса на поиск доказательств неразрешимости десятой проблемы. Дэвис перешёл от её формулировки в целых числах к более естественной для теории алгоритмов формулировки в натуральных числах. Это две разные задачи, однако каждая из них сводится к другой. В 1953 году он опубликовал работу, в которой наметил путь решения десятой проблемы в натуральных числах.

Дэвис наравне с классическими диофантовыми уравнениями рассмотрел их параметрическую версию:

$P(a_1,\dots ,a_n,x_1,\dots ,x_m)=0,$

где многочлен $P$ с целыми коэффициентами можно разделить на две части — параметры $a_1,\dots ,a_n$ и переменные $x_1,\dots ,x_m.$ При одном наборе значений параметров уравнения может иметь решение, при другом решений может его не иметь. Дэвис выделил множество $M$, которое содержит все наборы значений параметров ($n$), при которых уравнение имеет решение:

$\{a_1,\dots ,a_n\}\in M⟺\mathrm{\exists }{x}_1,\dots ,x_m:P(a_1,\dots ,a_n,x_1,\dots ,x_m)=0.$

Такую запись он назвал диофантовым представлением множества, а само множество также назвал диофантовым. Для доказательства неразрешимости десятой проблемы нужно было лишь показать диофантовость любого перечислимое множества, то есть показать возможность построения уравнения, которое имело бы натуральные корни $x_1,\dots ,x_m$ при $\{a_1,\dots ,a_n\}$, принадлежащих к этому множеству: поскольку среди перечислимых множеств содержатся неразрешимые, то, взяв неразрешимое множество $M$ за основу, невозможно было бы получить общий метод, который бы $n$ определял, имеются ли в этом наборе уравнения натуральные корни. Всё это привело Дэвиса к такой гипотезе: Шаблон:Теорема Дэвис также сделал первый шаг — доказал, что любое перечислимое множество $M$ можно представить в виде:

$\{a_1,\dots ,a_n\}\in M⟺\mathrm{\exists }z\mathrm{\forall }y<z\mathrm{\exists }{x}_1,\dots ,x_m:P(a_1,\dots ,a_n,x_1,\dots ,x_m,y,z)=0.$

Это получило название «нормальная форма Дэвиса». Доказать свою гипотезу, избавившись от квантора всеобщности, ему на тот момент не удалось.

Награды и почётные звания

В 1975 году, Дэвис был награждён премией Стила, премией «Chauvenet Prize» и премией Лестера Форда за работу, которая посвящена десятой проблеме Гильберта.

В 1982 году Мартин стал членом и Американской академии искусств и наук.

В 2012 был избран стипендиатом Американского математического общества.

Отдельные издания

Книги

• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга

Обзор «двигателей логики»: Шаблон:CitationШаблон:Недоступная ссылка

Статьи

• Мартин Дэвис (1995), «Является ли математическое понимание алгоритмическим», «Behavioral and Brain Sciences», 13(4), 659-60.

См. также

• Проблема остановки
• Нестандартный анализ

Ссылки

• Сайт Мартина Дэвиса Шаблон:Wayback
• Шаблон:Math-Net.ru