Троичные коды Голея

Троичные коды Голея — это два тесно связанных исправляющих ошибки кода. Код, известный просто как троичный код Голея — это $[11,6,5{]}_3$-код, то есть это линейный код над троичным алфавитом. Относительное расстояние кодов максимально для троичных кодов, а следовательно, троичный код Голея является совершенным кодом. Расширенный троичный код Голея является линейным кодом [12, 6, 6], который получается путём добавления контрольного числа (дающего нулевую сумму) к коду [11, 6, 5]. В Теории конечных групп расширенный троичный код Голея иногда называется просто троичным кодом Голея.

Свойства

Троичный код Голея

Шаблон:Карточка кода Троичный код Голея состоит из 3⁶ = 729 кодовых слов. Его Шаблон:Не переведено 5

$\left[\begin{array}{ccccccccccc}1& 1& 1& 2& 2& 0& 1& 0& 0& 0& 0\\ 1& 1& 2& 1& 0& 2& 0& 1& 0& 0& 0\\ 1& 2& 1& 0& 1& 2& 0& 0& 1& 0& 0\\ 1& 2& 0& 1& 2& 1& 0& 0& 0& 1& 0\\ 1& 0& 2& 2& 1& 1& 0& 0& 0& 0& 1\end{array}\right].$

Любое из двух различных кодовых слов отличаются по меньшей мере в 5 позициях. Любое троичное слово длины 11 имеет расстояние Хэмминга, не превосходящее 2 ровно от одного кодового слова. Код можно построить как Шаблон:Не переведено 5 длины 11 над конечным полем F₃.

Используемый в Шаблон:Не переведено 5 с 11 играми, троичный код Голея соответствует 729 ставкам и гарантирует ровно одну ставку с максимум 2 неправильными оценками.

Множество кодовых слов с весом Хэмминга 5 является блок-схемой 3-(11,5,4).

Расширенный троичный код Голея

Шаблон:Карточка кода Полный весовой энумератор расширенного троичного кода Голея

$x^{12}+y^{12}+z^{12}+22(x^6{y}^6+y^6{z}^6+z^6{x}^6)+220(x^6{y}^3{z}^3+y^6{z}^3{x}^3+z^6{x}^3{y}^3).$

Группой автоморфизмов расширенной троичной группы кодов является 2.M₁₂, где M₁₂ — Шаблон:Не переведено 5.

Расширенный троичный код Голея можно построить как строки матрицы Адамара порядка 12 над полем F₃.

Рассмотрим все кодовые слова расширенного кода, которые имеют шесть ненулевых цифр. Множества позиций, в которых эти ненулевые цифры оказываются, образуют систему Штейнера S(5, 6, 12).

История

Троичный код Голея открыл ГолейШаблон:Sfn. Код независимо открыл двумя годами ранее финский энтузиаст футбольных тотализаторов Юхани Виртакаллио, который опубликовал его в 1947 году в выпусках 27, 28 и 33 футбольного журнала VeikkaajaШаблон:Sfn.

См. также

• Двоичный код Голея

Литература

• Шаблон:Статья
• Шаблон:Статья
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга