Фотонный ящик Эйнштейна

Фотонный ящик Эйнштейна — гипотетическое устройство, якобы способное, вопреки соотношению неопределённостей между энергией и временем, измерить энергию фотона с любой заданной точностью в любой момент времени, также заданный с любой точностью. Идея этого устройства была выдвинута А. Эйнштейном во время его дискуссии с Н. Бором на Сольвейской конференции в 1930 г. Н. Бор объяснил этот парадокс и подчеркнул, что необходимо различать собственно измерительные приборы, служащие для определения системы отсчёта и те части прибора, которые являются объектами исследования и подвержены квантовым эффектам.

Формулировка парадокса

Фотонный ящик Эйнштейна

Фотонный ящик Эйнштейна состоит из ящика с отверстием в стенке, которое можно открывать и закрывать при помощи часового механизма изнутри ящика. Пусть ящик заполнен излучением, а часовой механизм запрограммирован открыть отверстие в заданный момент на очень короткое время. Таким образом, можно добиться того, что в момент времени, заданный с любой точностью, через отверстие пройдет один фотон. Путем определения разности масс $\mathrm{\Delta }m$ ящика до и после этого момента времени при помощи взвешивания, якобы можно, вопреки соотношению неопределённостей между энергией и временем, измерить энергию фотона $\mathrm{\Delta }E$ с любой желаемой точностью согласно формуле Эйнштейна зависимости между массой и энергией:

$\mathrm{\Delta }E=\mathrm{\Delta }m{c}^2$ (1)

Объяснение парадокса

Предположим, что фотонный ящик для взвешивания подвешен на пружине, к нему прикреплена стрелка, а снизу к ящику прикреплена подставка с гирями для точной установки стрелки к нулю измерительной шкалы в процессе взвешивания (см. рис). Для взвешивания фотонного ящика необходимо установить стрелку весов, прикреплённую к ящику, в нулевое положение шкалы с некоторой наперёд заданной точностью $\mathrm{\Delta }q$. Но, согласно соотношению неопределённостей, при этом возникает неопределённость импульса ящика $\mathrm{\Delta }p$ ($\hslash$ - постоянная Планка):

$\mathrm{\Delta }q\mathrm{\Delta }p⩾\frac{\hslash }{2}$.

Эта неопределённость должна быть меньше импульса, переданного полем тяготения телу с массой $\mathrm{\Delta }m$ в течение времени $T$, в течение которого происходит процесс взвешивания ($g$ - ускорение свободного падения):

$Tg\mathrm{\Delta }m>\mathrm{\Delta }p⩾\frac{\hslash }{2\mathrm{\Delta }q}$ (2)

В то же время, по общей теории относительности, часы, сместившиеся в поле силы тяжести на величину $\mathrm{\Delta }q$, изменят свой ход таким образом, что их показание в течение промежутка времени $T$ изменится на величину $\mathrm{\Delta }T$ ($c$ - скорость света):

$\frac{\mathrm{\Delta }T}{T}=\frac{g\mathrm{\Delta }q}{c^2}$ (3)

Из формул (2) и (3) следует, что вследствие взвешивания показания часов содержат неопределённость $\mathrm{\Delta }T$:

$\mathrm{\Delta }T⩾\frac{\hslash }{2c^2\mathrm{\Delta }m}$

Из этой формулы и формулы (1) следует, что неопределённость знаний показаний часов и неопределённость знаний энергии фотона связаны согласно соотношению неопределённостей:

$\mathrm{\Delta }T\mathrm{\Delta }E⩾\frac{\hslash }{2}$

См. также

• Дискуссия Бора с Эйнштейном
• Соотношение неопределённостей
• Эквивалентность массы и энергии
• Гравитационное красное смещение

Литература

• Нильс Бор Атомная физика и человеческое познание. - М., ИЛ, 1961. - 150 с.