Гипотеза Даффина — Шаффера

Гипотеза Даффина — Шаффера — подтверждённая гипотеза в теории метрических чисел, предложенная Ричардом Даффином и Альбетром Шеффером в 1941 году: для всякой функции $f:\mathbb{N}\to {ℝ}^{+}$ почти для всех $\alpha$ (относительно меры Лебега) неравенство:

$|\alpha -\frac{p}{q}|<\frac{f(q)}{q}$

имеет бесконечно много решений во взаимно простых числах $p,q$ ($q>0$) тогда и только тогда, когда:

$\sum _{q=1}^{\mathrm{\infty }}f(q)\frac{\phi (q)}{q}=\mathrm{\infty }$,

где $\phi (q)$ — функция Эйлера.

Полное доказательство дано в 2019 году Димитрисом Кукулопулосом и Джеймсом Мейнардом.

История

Из леммы Бореля — Кантелли следует, что если рациональные приближения существуют, то ряд расходится. Обратное утверждение составляет суть данной гипотезы.

Было получено много доказательств частных случаев гипотезы Даффина — Шеффера. В 1970 году Пал Эрдёш установил, что гипотеза верна, если существует константа $c>0$ такая, что для каждого целого числа $n$ или $f(n)=c/n$, или $f(n)=0$. В 1978 году Джеффри Ваалером усилил этот результат на случай $f(n)=O(n^{-1})$. Хейнс, Поллингтон и Велани в 2009 году ещё более усилили результат, гипотеза верна, если существует число $\epsilon >0$, такое что ряд:

$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{\left(\frac{f(n)}{n}\right)}^{1+\epsilon }\phi (n)=\mathrm{\infty }$.

В 1990 году был доказан многомерный аналог гипотезы.

В 2006 году Бересневич и Велани доказали, что аналог гипотезы Даффина — Шеффера для меры Хаусдорфа эквивалентен исходной гипотезе Даффина — Шеффера, которая априори слабее.

Полное доказательство опубликовано Кукулопулосом и Мейнардом в 2019 году.

Литература

• Harman, Glyn (1998). Metric number theory. London Mathematical Society Monographs. New Series. 18. Oxford: Clarendon Press. ISBN 978-0-19-850083-4. Zbl 1081.11057.
• Harman, Glyn (2002). «One hundred years of normal numbers». In Bennett, M. A.; Berndt, B.C.; Boston, N.; Diamond, H.G.; Hildebrand, A.J.; Philipp, W. (eds.). Surveys in number theory: Papers from the millennial conference on number theory. Natick, MA: A K Peters. pp. 57–74. ISBN 978-1-56881-162-8. Zbl 1062.11052.
• Шаблон:Статья