Матрица Супника

Ма́трица Су́пника или масси́в Су́пника – названная в честь Фреда Супника из городского колледжа Нью-Йорка, который ввел это понятие в 1957 – это массив Монжа который также является симметричной матрицей.

Математическое определение

Матрица Супника – это квадратный массив Монжа, симметричный вокруг главной диагонали.

Матрица вида n × n является матрицей Супника, если для всех i, j, k, l таких что

$1\le i<k\le n$ and $1\le j<l\le n$

затем

$a_{ij}+a_{kl}\le a_{il}+a_{kj}$

а также

$a_{ij}=a_{ji}.$

Логически эквивалентное определение дают Рудольф и Вёджингер, которые в 1995 году доказали, что

Матрица – это матрица Супника, если она может быть записана как сумма матрицы сумм S и неотрицательной линейной комбинации блочных матриц LL-UR.

Матрица сумм определяется в терминах последовательности n вещественных чисел { α_i }:

$S=[s_{ij}]=[{\alpha }_i+{\alpha }_j];$

а блочная матрица LL-UR состоит из двух симметрично расположенных прямоугольнков в нижнем левом и верхнем правом углах, для которых a _ij = 1, при этом все остальные элементы матрицы равны нулю.

Свойства

Сложение двух матриц Супника дает новую матрицу Супника (Дейнеко и Вёджингер, 2006).

Умножение матрицы Супника на неотрицательное вещественное число дает новую матрицу Супника (Дейнеко и Вёджингер, 2006).

Если матрицу расстояний в задаче коммивояжёра можно записать как матрицу Супника, то этот конкретный случай задачи допускает простое решение (даже если задача, как правило, NP-трудная).

Ссылки

• Шаблон:Статья
• Шаблон:Статья
• Шаблон:Статья