Параметризация Фейнмана

Параметризация Фейнмана — это метод вычисления интегралов по четырёхмерному пространству, возникающих при расчёте по диаграммам Фейнмана радиационных поправок (высших порядков теории возмущений) к различным процессам. Его сутью является сведение множителей в знаменателе под одну степень, а затем, пользуясь независимостью в порядке интегрирования, применение уже известного вычисленного интеграла по четырёхмерному пространству. Получившиеся независимые переменные, по которым производится интегрирование (уже по одномерному пространству), называются параметрами Фейнмана.

Формулы

Ричард Фейнман заметил, что:

$\frac{1}{AB}=\underset{0}{\overset{1}{\int }}\frac{du}{{[uA+(1-u)B]}^2}$

причём формула действительна для любых комплексных чисел A и B, если 0 не содержится в отрезке прямой, соединяющем A и B. Формула помогает вычислить интегралы, такие как:

$\int \frac{dp}{A(p)B(p)}=\int dp\underset{0}{\overset{1}{\int }}\frac{du}{{[uA(p)+(1-u)B(p)]}^2}=\underset{0}{\overset{1}{\int }}du\int \frac{dp}{{[uA(p)+(1-u)B(p)]}^2}.$

Если A (p) и B (p) — линейные функции от p, то последний интеграл можно вычислить с помощью подстановки.

В более общем смысле, используя дельта-функцию Дирака $\delta$:

$\begin{array}{cc}\frac{1}{A_1\cdots A_n}& =(n-1)!\underset{0}{\overset{1}{\int }}d{u}_1\cdots \underset{0}{\overset{1}{\int }}d{u}_n\frac{\delta (1-\sum _{k=1}^n{u}_k)}{{\left(\sum _{k=1}^n{u}_k{A}_k\right)}^n}\\ & =(n-1)!\underset{0}{\overset{1}{\int }}d{u}_1\underset{0}{\overset{u_1}{\int }}d{u}_2\cdots \underset{0}{\overset{u_{n-2}}{\int }}d{u}_{n-1}\frac{1}{{[A_1+u_1(A_2-A_1)+\dots +u_{n-1}(A_n-A_{n-1})]}^n}.\end{array}$

Эта формула действительна для любых комплексных чисел A₁,. , ., A_n, если 0 не содержится в их выпуклой оболочке.

Даже в более общем плане, при условии, что $\text{Re}({\alpha }_j)>0$ для всех $1\le j\le n$ :

$\frac{1}{A_1^{{\alpha }_1}\cdots A_n^{{\alpha }_n}}=\frac{\mathrm{\Gamma }({\alpha }_1+\dots +{\alpha }_n)}{\mathrm{\Gamma }({\alpha }_1)\cdots \mathrm{\Gamma }({\alpha }_n)}\underset{0}{\overset{1}{\int }}d{u}_1\cdots \underset{0}{\overset{1}{\int }}d{u}_n\frac{\delta (1-\sum _{k=1}^n{u}_k)u_1^{{\alpha }_1-1}\cdots u_n^{{\alpha }_n-1}}{{\left(\sum _{k=1}^n{u}_k{A}_k\right)}^{\sum _{k=1}^n{\alpha }_k}}$

где $\mathrm{\Gamma }$ — гамма-функция.

Вывод

$\frac{1}{AB}=\frac{1}{A-B}(\frac{1}{B}-\frac{1}{A})=\frac{1}{A-B}\underset{B}{\overset{A}{\int }}\frac{dz}{z^2}.$

Теперь просто линейно преобразовать интеграл с помощью подстановки,

$u=(z-B)/(A-B)$,

что приводит к $du=dz/(A-B)$,

откуда $z=uA+(1-u)B$

и мы получаем искомый результат:

$\frac{1}{AB}=\underset{0}{\overset{1}{\int }}\frac{du}{{[uA+(1-u)B]}^2}.$

В более общих случаях вывод может быть выполнен очень эффективно с использованием параметризации Швингера. Например, чтобы вывести параметризованную форму Фейнмана $\frac{1}{A_1...A_n}$ Сначала мы повторно выражаем все факторы в знаменателе в их параметризованной форме Швингера:

$\frac{1}{A_i}=\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}d{s}_i{e}^{-s_i{A}_i}\text{for }i=1,\dots ,n$

и записываем

$\frac{1}{A_1\cdots A_n}=\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}d{s}_1\cdots \underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}d{s}_n\exp (-(s_1{A}_1+\cdots +s_n{A}_n)).$

Затем мы выполняем следующее изменение переменных интегрирования,

$\alpha =s_1+...+s_n,$

${\alpha }_i=\frac{s_i}{s_1+\cdots +s_n};i=1,\dots ,n-1,$

чтобы получить,

$\frac{1}{A_1\cdots A_n}=\underset{0}{\overset{1}{\int }}d{\alpha }_1\cdots d{\alpha }_{n-1}\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}d\alpha {\alpha }^{N-1}\exp (-\alpha \{{\alpha }_1{A}_1+\cdots +{\alpha }_{n-1}{A}_{n-1}+(1-{\alpha }_1-\cdots -{\alpha }_{n-1})A_n\}).$

где $\underset{0}{\overset{1}{\int }}d{\alpha }_1\cdots d{\alpha }_{n-1}$ обозначает интеграцию по площади $0\le {\alpha }_i\le 1$ с $\sum _{i=1}^{n-1}{\alpha }_i\le 1$ ,

Следующим шагом является выполнение интегрирования по $\alpha$.

$\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}d\alpha {\alpha }^{n-1}\exp (-\alpha x)=\frac{{\partial }^{n-1}}{\partial (-x{)}^{n-1}}(\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}d\alpha \exp (-\alpha x))=\frac{(n-1)!}{x^n}.$

где мы определили $x={\alpha }_1{A}_1+\cdots +{\alpha }_{n-1}{A}_{n-1}+(1-{\alpha }_1-\cdots -{\alpha }_{n-1})A_n.$

Подставляя этот результат, мы получаем предпоследнюю форму,

$\frac{1}{A_1\cdots A_n}=(n-1)!\underset{0}{\overset{1}{\int }}d{\alpha }_1\cdots d{\alpha }_{n-1}\frac{1}{[{\alpha }_1{A}_1+\cdots +{\alpha }_{n-1}{A}_{n-1}+(1-{\alpha }_1-\cdots -{\alpha }_{n-1})A_n{]}^n},$

и после введения дополнительного интеграла мы приходим к окончательному виду параметризации Фейнмана, а именно:

$\frac{1}{A_1\cdots A_n}=(n-1)!\underset{0}{\overset{1}{\int }}d{\alpha }_1\cdots \underset{0}{\overset{1}{\int }}d{\alpha }_n\frac{\delta (1-{\alpha }_1-\cdots -{\alpha }_n)}{[{\alpha }_1{A}_1+\cdots +{\alpha }_n{A}_n{]}^n}.$

Точно так же, чтобы вывести форму параметризации Фейнмана из наиболее общего случая, : $\frac{1}{A_1^{{\alpha }_1}...A_n^{{\alpha }_n}}$ можно начать с подходящей другой формы параметризации Швингера в знаменателе, а именно:

$\frac{1}{A_1^{{\alpha }_1}}=\frac{1}{({\alpha }_1-1)!}\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}d{s}_1{s}_1^{{\alpha }_1-1}{e}^{-s_1{A}_1}=\frac{1}{\mathrm{\Gamma }({\alpha }_1)}\frac{{\partial }^{{\alpha }_1-1}}{\partial (-A_1{)}^{{\alpha }_1-1}}\left(\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}d{s}_1{e}^{-s_1{A}_1}\right)$

и затем действовать точно в соответствии с предыдущим случаем.

Альтернативная форма

Альтернативная форма параметризации, которая иногда полезна,

$\frac{1}{AB}=\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{d\lambda }{{[\lambda A+B]}^2}.$

Эта форма может быть получена с помощью замены переменных $\lambda =u/(1-u)$, Мы можем использовать правило произведения, чтобы показать, что $d\lambda =du/(1-u{)}^2$, затем

$\begin{array}{cc}\frac{1}{AB}& =\underset{0}{\overset{1}{\int }}\frac{du}{{[uA+(1-u)B]}^2}\\ & =\underset{0}{\overset{1}{\int }}\frac{du}{(1-u{)}^2}\frac{1}{{[\frac{u}{1-u}A+B]}^2}\\ & =\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{d\lambda }{{[\lambda A+B]}^2}\\ \end{array}$

В более общем случае мы имеем

$\frac{1}{A^m{B}^n}=\frac{\mathrm{\Gamma }(m+n)}{\mathrm{\Gamma }(m)\mathrm{\Gamma }(n)}\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{{\lambda }^{m-1}d\lambda }{{[\lambda A+B]}^{n+m}},$

где $\mathrm{\Gamma }$ — гамма-функция .

Эта форма может быть полезна при объединении линейного знаменателя $A$ с квадратичным знаменателем $B$, например, в эффективной теории тяжелых кварков (HQET).

Симметричная форма

Иногда используется симметричная форма параметризации, где вместо этого выполняется интеграл на интервале $[-1,1]$, что приводит к:

$\frac{1}{AB}=2\underset{-1}{\overset{1}{\int }}\frac{du}{{[(1+u)A+(1-u)B]}^2}.$