Порядок интегрирования

В математическом анализе изменение порядка интегрирования — это методология, которая преобразует повторные интегралы (или кратные интегралы с использованием теоремы Фубини) функций в другие, более простые интегралы путем изменения порядка, в котором выполняются интегрирования. В некоторых случаях порядок интеграции может быть обоснованно изменен; в других — нет.

Постановка задачи

Задача для исследования — вычисление интеграла формы

$\underset{D}{\iint }f(x,y)dxdy,$

где D — некоторая двумерная область в плоскости xy. Для некоторых функций f возможно явное интегрирование, но там, где это не так, интеграл иногда можно привести к более простой форме, изменив порядок интегрирования. Сложность этого обмена заключается в определении изменения описания области D.

Метод также применим и к другим кратным интегралам.

Иногда, даже если полная оценка затруднена или, возможно, требует численного интегрирования, двойной интеграл может быть сведен к единственному интегрированию, как показано ниже. Сведение к единственному интегрированию делает численную оценку намного проще и эффективнее.

Отношение к интегрированию по частям

Рисунок 1: Интегрирование по треугольной области может быть выполнено с использованием вертикальных или горизонтальных полос в качестве первого шага. Это вид сверху вниз по оси z на плоскость x-y. Наклонная линия — это кривая y = x.

Рассмотрим повторный интеграл

$\underset{a}{\overset{z}{\int }}\underset{a}{\overset{x}{\int }}h(y)dydx$,

который мы напишем, используя префиксную нотацию:

$\underset{a}{\overset{z}{\int }}dx\underset{a}{\overset{x}{\int }}h(y)dy$.

В этом выражении второй интеграл вычисляется первым по y, а x остается постоянным — полоса шириной dx интегрируется первой по направлению y (полоса шириной dx в направлении x интегрируется в отношении к переменной y вдоль направления y), складывая бесконечное количество прямоугольников шириной dy вдоль оси y. Это формирует трехмерный срез шириной dx вдоль оси x, от y = a до y = x вдоль оси y и в направлении z = f (x, y). Стоит обратить внимание, что если толщина dx бесконечно мала, x изменяется бесконечно мало только на срезе. Мы можем считать, что x — константа. Это интегрирование показано на рисунке 1, но оно неудобно, особенно когда функцию h(y) интегрировать нелегко. Интеграл можно свести к единственному интегрированию, изменив порядок интегрирования, как показано на правой панели рисунка. Чтобы выполнить этот обмен переменными, полоса ширины dy сначала интегрируется от линии x = y до предела x = z, а затем результат интегрируется от y = a до y = z, в результате чего получается:

$\underset{a}{\overset{z}{\int }}dx\underset{a}{\overset{x}{\int }}h(y)dy=\underset{a}{\overset{z}{\int }}h(y)dy\underset{y}{\overset{z}{\int }}dx=\underset{a}{\overset{z}{\int }}(z-y)h(y)dy.$

Этот результат можно рассматривать как пример формулы для интегрирования по частям, как указано ниже:

$\underset{a}{\overset{z}{\int }}f(x)g^{\prime }(x)dx={[f(x)g(x)]}_a^z-\underset{a}{\overset{z}{\int }}{f}^{\prime }(x)g(x)dx$

Замена:

$f(x)=\underset{a}{\overset{x}{\int }}h(y)dy\text{ and }{g}^{\prime }(x)=1.$

Что дает результат.

Интеграл в смысле главного значения

Для применения к Шаблон:Нп1 см. Уиттакер и Ватсон, Гахова, Лу, Цвиллингера. См. также обсуждение преобразования Пуанкаре-Бертрана у Оболашвили. Пример, когда порядок интеграции не может быть изменен, дал Канвал:

$\frac{1}{(2\pi i{)}^2}\underset{L}{\overset{*}{\int }}\frac{d{\tau }_1}{{\tau }_1-t}\underset{L}{\overset{*}{\int }}g(\tau )\frac{d\tau }{\tau -{\tau }_1}=\frac{1}{4}g(t),$

в то время как:

$\frac{1}{(2\pi i{)}^2}\underset{L}{\overset{*}{\int }}g(\tau )d\tau \left(\underset{L}{\overset{*}{\int }}\frac{d{\tau }_1}{({\tau }_1-t)(\tau -{\tau }_1)}\right)=0.$

Вторая форма вычисляется с использованием метода неопределённых коэффициентов и вычисления с использованием формулы Сохоцкого-Племеля:

$\underset{L}{\overset{*}{\int }}\frac{d{\tau }_1}{{\tau }_1-t}=\underset{L}{\overset{*}{\int }}\frac{d{\tau }_1}{{\tau }_1-t}=\pi i.$

Обозначение $\underset{L}{\overset{*}{\int }}$ указывает Шаблон:Нп1. См. Канвал.

Основные теоремы

Обсуждение базиса для изменения порядка интегрирования можно найти в книге «Анализ Фурье» Т. В. Кёрнера. Он вводит свое обсуждение с примером, в котором перестановка интегрирования приводит к двум различным ответам, поскольку условия теоремы II ниже не выполняются. Вот пример:

$\underset{1}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{x^2-y^2}{{(x^2+y^2)}^2}dy={\left[\frac{y}{x^2+y^2}\right]}_1^{\mathrm{\infty }}=-\frac{1}{1+x^2}[x\ge 1].$

$\underset{1}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\left(\underset{1}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{x^2-y^2}{{(x^2+y^2)}^2}dy\right)dx=-\frac{\pi }{4}.$

$\underset{1}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\left(\underset{1}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{x^2-y^2}{{(x^2+y^2)}^2}dx\right)dy=\frac{\pi }{4}.$

Две основные теоремы, определяющие допустимость обмена, цитируются ниже Чаудри и Зубайр:

Теорема I:

Пусть f(x, y) — непрерывная функция постоянного знака, определенная для a ≤ x < ∞, c ≤ y < ∞, и пусть интегралы $J(y):=\underset{a}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}f(x,y)dx$Шаблон:Space и Шаблон:Space$J^{*}(x)=\underset{c}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}f(x,y)dy$ рассматриваются как функции соответствующего параметра, соответственно непрерывны при c ≤ y < ∞, a ≤ x < ∞. Тогда, если хотя бы один из повторных интегралов $\underset{c}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}(\underset{a}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}f(x,y)dx)dy$Шаблон:Space и Шаблон:Space$\underset{a}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}(\underset{c}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}f(x,y)dy)dx$ сходится, другой интеграл также сходится и их значения совпадают.

Теорема II:

Пусть f(x, y) непрерывные функции для a ≤ x < ∞, c ≤ y < ∞, и пусть интегралы $J(y):=\underset{a}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}f(x,y)dx$Шаблон:Space и Шаблон:Space$J^{*}(x)=\underset{c}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}f(x,y)dy$ сходятся равномерно на каждом конечном интервале c ≤ y < C и на каждом конечном интервале a ≤ x < A. Тогда, если хотя бы один из повторных интегралов $\underset{c}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}(\underset{a}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}|f(x,y)|dx)dy$Шаблон:Space и Шаблон:Space$\underset{a}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}(\underset{c}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}|f(x,y)|dy)dx$ сходится, повторные интегралы $\underset{c}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}(\underset{a}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}f(x,y)dx)dy$Шаблон:Space и Шаблон:Space$\underset{a}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}(\underset{c}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}f(x,y)dy)dx$ также сходятся и их значения равны.

Наиболее важная теорема прикладного характера цитируется Проттером и Морри:

Предположим, что F это область, заданная $F=\{(x,y):a\le x\le b,p(x)\le y\le q(x)\}$  где p и q непрерывны и p(x) ≤ q(x) для a ≤ x ≤ b. Предположим, что f(x, y) непрерывно на F. Тогда {{$\underset{F}{\iint }f(x,y)dA=\underset{a}{\overset{b}{\int }}\underset{p(x)}{\overset{q(x)}{\int }}f(x,y)dydx.$}} Соответствующий результат верен, если замкнутая область F имеет представление $F=\{(x,y):c\le y\le d,r(y)\le x\le s(y)\}$  где r(y) ≤ s(y) для c ≤ y ≤ d.  В таком случае,

$\underset{F}{\iint }f(x,y)dA=\underset{c}{\overset{d}{\int }}\underset{r(y)}{\overset{s(y)}{\int }}f(x,y)dxdy.$

Другими словами, оба повторных интеграла, если их можно вычислить, равны двойному интегралу и, следовательно, равны друг другу.

См. также

• Теорема Фубини

Ссылки

• Paul’s Online Math Notes: Calculus III Шаблон:WaybackШаблон:Ref-en
• Good 3D images showing the computation of «Double Integrals» using iterated integrals Шаблон:Wayback, the Department of Mathematics at Oregon State University.Шаблон:Ref-en
• Ron Miech’s UCLA Calculus Problems Шаблон:Wayback Более сложные примеры изменения порядка интеграции (см. задачи 33, 35, 37, 39, 41 & 43)Шаблон:Ref-en
• Duane Nykamp’s University of Minnesota website Шаблон:WaybackШаблон:Ref-en