B-V диаграмма

Шаблон:Плохое оформление B-V диаграмма позволяет получить численную оценку дисперсионного соотношения волноводной частоты и волноводного показателя преломления для различных мод волновода. Также с помощью неё можно определить некоторые характеристики волновода (угол распространения каждой моды, величину фазового сдвига).

Построение b-V диаграммы

1) Для того, чтобы построить диаграмму для конкретно заданного волновода необходимо знать числовые значения его показателей преломления : $n_1$ - сердцевина , $n_2$ — подложка, $n_3$(показатель преломления воздуха) = 1.

2) С помощью показателей преломления рассчитываем параметр степени асимметрии a волноводной структуры :

Для ТМ-мод :

$a_{}=\frac{n_1^4}{n_3^4}\cdot \frac{n_2^2-n_3^2}{n_1^2-n_2^2}$

Для ТЕ-мод :

$a_{}=\frac{n_2^2-n_3^2}{n_1^2-n_2^2}$

3) B — волноводный показатель преломления. Для любого волновода B изменяется в пределах от 0 до 1 ($B\ne 1$).

Для построения диаграммы возьмём значения B от 0 до 0,99 с шагом в 0,01.

4) Зная величину волноводного показателя преломления и параметра асимметрии определим волновые частоты волновода с помощью дисперсионного уравнения:

$V_{}=\frac{\pi m+arctg\surd (B/(1-B))+arctg\surd ((B+a)/(1-B))}{\surd (1-B)}$

где $m$ — номер моды, целое число ($m=0,1,2...$).

5) Строим графики зависимости волноводного показателя преломления от волноводной частоты для каждой моды (в примере взят волновод с показателями преломления $n_1$ — 2,22 , $n_2$ — 2,2, $n_3$(показатель преломления воздуха) = 1.)

Зависимость волноводного показателя преломления B от частоты V

Определение углов распространения в модах и фазовых сдвигов

Зная толщину волноводного слоя $h$, показатели преломления волновода и длину волны $\lambda$ света, распространяемого в волноводе, рассчитаем общее количество мод $M$ данного волновода :

$M_{}=\frac{2h_{}}{{\lambda }_{}}\cdot \surd n_1^2-n_2^2$

(количество мод в волноводе округляется до целого числа в меньшую сторону)

Найдём величину частоты отсечки V для каждой моды :

$V=m\cdot \pi +\arctan \surd a$

Где a — параметр степени асимметрии волноводной структуры.

Для каждой полученной V находим соответствующее значение B с помощью B-V диаграммы.

Далее, из формулы для волноводного показателя преломления выразим величину эффективного показателя преломления $n_{eff}$ для каждой моды :

$B_{}=\frac{n_{eff,m}^2-n_2^2}{n_1^2-n_2^2}$

$n_{eff,m}=\surd (B\cdot (n_1^2-n_2^2)-n_2^2)$

Из полученных значений $n_{eff}$ рассчитаем угол распространения света в каждой моде. При этом, угол ${\mathrm{\Theta }}_{}$ не может быть любым, так как только дискретный набор углов приводит к самосогласованной картине распространения поля, соответствующего волноводной моде. Значения углов соответствуют модам волноводного слоя. То есть, для каждой моды $m_{}$ волновода существует свой эффективный показатель преломления $n_{eff,m}$  , который зависит от угла падения света ${\mathrm{\Theta }}_m$ :

$n_{eff,m}=n_1\sin {\mathrm{\Theta }}_m$

$\sin {\mathrm{\Theta }}_m=\frac{n_{eff,m}}{n_1}$

(угол, под которым распространяется свет должен быть больше критического, чтобы сохранялось условие полного внутреннего отражения)

$\sin {\mathrm{\Theta }}_{\kappa p}=\frac{n_2}{n_1}$

Зная углы распространения для каждой из мод, мы можем рассчитать величины фазовых сдвигов. Из теории о плоских волноводах известно, что свет, распространяясь в волноводе, постоянно отражается от границ сердцевина-воздух и сердцевина-подложка. При углах, превышающих критический, модуль коэффициента отражения равен единице, и отражённый свет претерпевает сдвиг фаз относительно падающего света. Выражение для фазовых сдвигов получено из формул Френеля для коэффициента отражения R. В данном случае R — комплексная величина $R=\exp (2/\phi )$, тогда :

Для ТМ-мод :

$tg{\phi }_{12,\mathrm{T}\mathrm{M}}=\frac{\frac{n_1^2}{n_2^2}\cdot \surd (n_1^{2}sin{\mathrm{\Theta }}_{}^2-n_2^2)}{n_1\cos {\mathrm{\Theta }}_{}}$

Для ТЕ-мод:

$tg{\phi }_{12,\mathrm{T}E}=\frac{\surd (n_1^{2}sin{\mathrm{\Theta }}_{}^2-n_2^2)}{n_1\cos {\mathrm{\Theta }}_{}}$

(Величина фазового сдвига одинаково определяется для границ сердцевина-воздух и сердцевина-подложка)

Зная величины фазовых сдвигов и величины углов в каждой моде волновода, производим проверку истинности найденных величин. Для этого используем условие самосогласованности (условие поперечного резонанса) :

$2k_{}{n}_1{h}_{}\cos {\mathrm{\Theta }}_{}-2{\phi }_{12}-2{\phi }_{13}=2\pi m_{}$

Где m — номер моды волновода, k — волновой вектор :

$k_{}=\frac{2\pi }{{\lambda }_{}}$

Литература

• К.Хельмут В.Лотш Проблемы прикладной физики. Часть 7. Интегральная оптика // Под ред. Т.Тамира — М: Изд-во Мир, 1978. — 344 с.