Волноводные моды

Волноводной модой принято называть электромагнитные колебания определённого типа внутри планарной структуры обладающей свойствами, схожими с волноводами (например в резонансных решётках или тонких плёнках), по аналогии с волновыми модами. Иными словами это часть излучения, распространяющаяся в модифицированном приповерхностном слое материала под определенным углом.

Так как любой волновод является колебательной системой имеющей конечные размеры, волновой вектор (а, следовательно, длина волны) в волноводе может принимать лишь определённые дискретные значения, что следует из решений уравнений Максвелла. Колебания в тонком слое с определёнными значениями волнового вектора называются волноводными модами, так как физический смысл этого явления аналогичен модам в оптике.

Стрелками на рисунке указаны направления нормалей к волновым поверхностям зигзагообразных волн, соответствующих волноводной моде.

Для изучения явления волновых вод мы предположим, что по координате х свет ограничен (∆х – толщина волноводного слоя). Тогда рассмотрим распространение по координате z. Также, стоит учесть, что структура и свет однородны в направлении оси y (y перпендикулярен x и z). Волна испытывает полное внутреннее отражение на границах пленки. Все излучаемые волны монохроматичны и когерентны, их угловая частота равна ω, длина волны в вакууме λ, а волновой вектор в направлении нормали к волновой поверхности равен $k{n}_1$kn1 , где $k=\frac{2\pi }{\lambda }=\frac{\omega }{c}$

Постоянная распространения β для волноводной моды в плоском волноводе : $\beta =\frac{\omega }{\nu }=k{n}_{1}sin\theta$ , где $\nu$-фазовая скорость. Угол $\theta$ для каждой моды собственный и не может принимать любые значения, т.к. только дискретный набор углов приводит к согласованной картине распределения поля, которая соответствует тому, что мы называем волноводной модой.

Рассмотрим поперечное сечение волновода плоскостью z = const. Сумма сдвигов фаз, образовавшихся при распространении луча света от границы с подложкой к границе с покровным слоем и его отражения от последней, должна быть кратна $2\pi$ . Сдвиг фазы за начальный проход пленки равен $k_{}{n}_1{h}_{}\cos {\mathrm{\Theta }}_{}$, сдвиг фазы в результате полного внутреннего отражения на границе раздела пленка - покровный слой равен $-2{\phi }_{12}$, сдвиг за следующий проход от этой границы $k_{}{n}_1{h}_{}\cos {\mathrm{\Theta }}_{}$ и сдвиг из-за полного внутреннего отражения на границе раздела пленка - подложка равен $-2{\phi }_{13}$.

Таким образом, получаем условие поперечного резонанса :

$2k_{}{n}_1{h}_{}\cos {\mathrm{\Theta }}_{}-2{\phi }_{12}-2{\phi }_{13}=2\pi m_{}$, где m-целое число, номер моды волновода.

Величина $\phi$ является функцией угла $\mathrm{\Theta }$ :

для ТМ-мод

$tg{\phi }_{12,\mathrm{T}\mathrm{M}}=\frac{\frac{n_1^2}{n_2^2}\cdot \surd (n_1^{2}sin{\mathrm{\Theta }}_{}^2-n_2^2)}{n_1\cos {\mathrm{\Theta }}_{}}$

для ТЕ-мод

$tg{\phi }_{12,\mathrm{T}E}=\frac{\surd (n_1^{2}sin{\mathrm{\Theta }}_{}^2-n_2^2)}{n_1\cos {\mathrm{\Theta }}_{}}$

Эффективный показатель преломления волновода :

$n_{eff}=\frac{\beta }{k}=n_1\sin \mathrm{\Theta }$

$k{n}_2<\beta <k{n}_1$ , $n_2<n_{eff}<n_1$