Порядок Деорнуа

Шаблон:Нп5, первооткрыватель порядка Деорнуа

Порядок Деорнуа — определённый левоинвариантный линейный порядок на группе кос.

Определение

Имеется множество различных подходов к определению порядка Деорнуа. Наиболее элементарный состоит в следующем.

Общий вид положительной по Деорнуа косы

Обозначим символами ${\sigma }_1,{\sigma }_2,\dots ,{\sigma }_{n-1}$ образующие Артина группы кос $B_n$ из $n$ нитей. Коса называется положительной по Деорнуа (или $\sigma$-положительной), если она может быть задана таким непустым артиновским словом, что образующая Артина ${\sigma }_k$ с наименьшим (среди присутствующих в слове) индексом $k$ входит в него только в положительных степеняхШаблон:Sfn. Аналогично определяются отрицательные по Деорнуа косы (или $\sigma$-отрицательные).

Например, коса $\beta ={\sigma }_1^{-1}{\sigma }_2{\sigma }_1$ допускает запись $\beta ={\sigma }_2{\sigma }_1{\sigma }_2^{-1}$, поэтому является положительной по Деорнуа.

По определению порядка Деорнуа, коса $\alpha$ из $n$ нитей меньше косы $\beta$ из того же числа нитей, что обозначается символом $\alpha ⩽\beta$ или $\alpha {⩽}_n\beta$, если либо $\alpha =\beta$, либо произведение ${\alpha }^{-1}\beta$ косы ${\alpha }^{-1}$, обратной к косе $\alpha$, и косы $\beta$ является положительной по ДеорнуаШаблон:Sfn. Во втором случае при обозначении используется строгое неравенство: $\alpha <\beta$ или $\alpha {<}_n\beta$.

Например, для любой положительной по Деорнуа косы $\beta$ выполняется следующая цепочка неравенств:

$\dots <{\beta }^{-2}<{\beta }^{-1}<1<\beta <{\beta }^2<\dots$.

Кроме того, в группе кос $B_n$ выполняются неравенства:

$1<{\sigma }_{n-1}<{\sigma }_{n-1}^2<{\sigma }_{n-1}^3<\dots <{\sigma }_{n-2}<{\sigma }_{n-2}^2<{\sigma }_{n-2}^3<\dots \dots <{\sigma }_2<{\sigma }_2^2<{\sigma }_2^3<\dots <{\sigma }_1<{\sigma }_1^2<{\sigma }_1^3<\dots$

Свойства

Множество положительных по Деорнуа кос из заданного числа $n$ нитей является положительным конусом на группе кос $B_n$. Иными словами, выполняются следующие свойстваШаблон:SfnШаблон:Sfn:

1. Любая $\sigma$-положительная коса нетривиальна (ацикличность);
2. Любая нетривиальная коса является либо $\sigma$-положительной, либо $\sigma$-отрицательной (свойство сравнения).

Таким образом, для каждого числа нитей $n\in \mathbb{N}$ отношение ${⩽}_n$ является левоинвариантным линейным порядком на группе $B_n$.

Например, порядок Деорнуа на бесконечной циклической группе $B_2\cong \mathbb{Z}$ изоморфен стандартному линейному порядку на множестве целых чисел.

Глобальные свойства

Порядок Деорнуа не имеет ни максимальных, не минимальных элементовШаблон:Sfn. Так, из неравенств ${\sigma }_1^{-1}<1<{\sigma }_1$ для любой косы $\beta$ следуют неравенства $\beta {\sigma }_1^{-1}<\beta <\beta {\sigma }_1$.

Коса ${\sigma }_{n-1}$ является наименьшим положительным по Деорнуа элементом группы $B_n$Шаблон:Sfn. Таким образом, упорядоченное множество $(B_n,⩽)$ является дискретнымШаблон:Sfn. А именно, непосредственным преемником косы $\beta \in B_n$ является коса $\beta {\sigma }_{n-1}$, а непосредственным предшественником — коса $\beta {\sigma }_{n-1}^{-1}$.

При $n\ge 3$ упорядоченная группа $(B_n,⩽)$ не является архимедовойШаблон:Sfn. Иными словами, существуют такие $\alpha ,\beta >1$, что неравенство ${\alpha }^p<\beta$ выполняется для любого $p\in \mathbb{N}$. Например, $1<{\sigma }_2^p<{\sigma }_1$.

При $n\ge 3$ упорядоченная группа $(B_n,⩽)$ не является конрадовой. Иными словами, существуют такие $\alpha ,\beta >1$, что неравенство $\alpha {\beta }^p<\beta$ выполняется для любого $p\in \mathbb{N}$. Например, данное неравенство выполняется при $\alpha ={\sigma }_2^{-2}{\sigma }_1$ и $\beta ={\sigma }_2^{-1}{\sigma }_1$Шаблон:Sfn.

Локальные свойства

Порядок Деорнуа в общем случае не является правоинвариантнымШаблон:Sfn. Так, неравенство $\alpha <\beta$ не обязательно влечет неравенство $\alpha \gamma <\beta \gamma$. Например, в группе $B_3$ при $\beta ={\sigma }_1{\sigma }_2^{-1}$ и $\gamma ={\sigma }_1{\sigma }_2{\sigma }_1$ имеем $1<\beta$ и $\beta \gamma <\gamma$.

Последнее неравенство также эквивалентно неравенству ${\gamma }^{-1}\beta \gamma <1$. В частности, коса, сопряженная к положительной по Деорнуа косе, может быть отрицательной по Деорнуа.

При сопряжении положительных кос, однако, свойство положительности по Деорнуа сохраняется. А именно, порядок Деорнуа обладает так называемым свойством подсловаШаблон:SfnШаблон:Sfn, которое заключается в том, что все косы вида ${\beta }^{-1}{\sigma }_i\beta$ положительны по Деорнуа. Или, что то же самое, выполняется неравенство $\beta <{\sigma }_i\beta$. В частности, любая квазиположительная коса положительна по Деорнуа.

Неравенство $\alpha <\beta$ не обязательно влечет неравенство ${\alpha }^{-1}<{\beta }^{-1}$. Например, в группе $B_3$ при $\alpha ={\sigma }_1{\sigma }_2{\sigma }_1$ и $\beta ={\sigma }_2^2{\sigma }_1$ обе косы ${\alpha }^{-1}\beta ={\sigma }_1{\sigma }_2^{-1}$ и $\alpha {\beta }^{-1}={\sigma }_1{\sigma }_2^{-1}$ являются положительными по ДеорнуаШаблон:Sfn.

Количество положительных букв в артиновском слове в общем случае не коррелирует с порядком ДеорнуаШаблон:Sfn. Так, существует такая коса $\beta$, содержащая хотя бы одну букву ${\sigma }_1$ и являющаяся положительной по Деорнуа, что для любого $p\in \mathbb{N}$ коса ${\beta }^p$, допускающая запись из хотя бы $p$ букв ${\sigma }_1$, строго меньше (в порядке Деорнуа) косы ${\sigma }_1$, содержащей всего одну такую букву. Примером такой косы является $\beta ={\sigma }_2^{-1}{\sigma }_1$.

Антье Деорнуа

Отсутствие при $n\ge 3$ свойства архимедовости порядка Деорнуа на группе кос $B_n$ означает, что существует такая коса $\alpha \in B_n$, что попарно непересекающиеся интервалы

$\{\beta \in B_n\mid {\alpha }^p⩽\beta <{\alpha }^{p+1}\}$,

где $p\in \mathbb{Z}$, не покрывают всю группу $B_n$. Тем не менее, если $\alpha ={\mathrm{\Delta }}_n^2$ — центральная коса, то подобные интервалы образуют разбиение группы косШаблон:Sfn.

Такое единственное $p\in \mathbb{Z}$, что выполняется неравенство

${\mathrm{\Delta }}_n^{2p}⩽\beta <{\mathrm{\Delta }}_n^{2(p+1)}$,

называется антье Деорнуа косы $\beta \in B_n$ и обозначается символами $\lfloor \beta {\rfloor }_{⩽}$ или $\lfloor \beta {\rfloor }_D$Шаблон:Sfn.

Антье Деорнуа задаёт функцию $B_n\to \mathbb{Z}$ и является квазихарактером на группе кос, дефект которого равен единице. Иными словами, для любых $\alpha ,\beta \in B_n$ выполняются неравенстваШаблон:Sfn:

$\lfloor \alpha {\rfloor }_D+\lfloor \beta {\rfloor }_D-1\le \lfloor \alpha \beta {\rfloor }_D\le \lfloor \alpha {\rfloor }_D+\lfloor \beta {\rfloor }_D+1$.

Литература

• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга

Ссылки

• Шаблон:Статья