Модальная алгебра

Модальная алгебра — структура $⟨A,\wedge ,\vee ,-,0,1,◻⟩$, где:

• $⟨A,\wedge ,\vee ,-,0,1⟩$ — булева алгебра,
• $◻$ — унарная операция над $A$, удовлетворяющая $◻1=1$ и $◻(x\wedge y)=◻x\wedge ◻y$ для всех $x,y\in A$.

Модальные алгебры являются моделями логики высказываний модальной логики, подобно тому, как булевы алгебры являются моделями классической логики. В частности, многообразие всех модальных алгебр обеспечивает алгебраическую семантику модальной логики $\mathrm{K}$, а решётка его подмногообразий дуально изоморфна решётке нормальных модальных логик.

Теорема Стоуна о представлении булевых алгебр может быть обобщена до Шаблон:Iw, согласно которой каждая модальная алгебра может быть представлена как алгебра допустимых множеств в модальном Шаблон:Iw.

Алгебра Магари (диагонализируемая алгебра) — модальная алгебра, удовлетворяющая условию $◻(-◻x\vee x)=◻x$; алгебры Магари соответствуют Шаблон:Iw.

Литература

• Шаблон:Cite book