Полугруппа с делением

Полугруппа с делением — Шаблон:Iw $(S,\cdot ,⩽)$, в которой для любых двух элементов $a$ и $b$ определены правое ($a/b$) и левое ($b\mathrm{\setminus }a$) частные, причём выполняются условия:

$\mathrm{\forall }c\in Sc⩽a/b\iff c\cdot b⩽a$ (правое; читается «$a$ над $b$»);

$\mathrm{\forall }c\in Sc⩽b\mathrm{\setminus }a\iff b\cdot c⩽a$ (левое; читается «$b$ под $a$»).

Правое и левое частные для каждых двух элементов определяются однозначно; если полугруппа коммутативна, то правое и левое частные совпадают.

Примеры:

• натуральные числа с операцией сложения: $(\mathbb{N},+,⩾)$;
• любая импликативная решётка: здесь псевдодополнение играет роль как правого, так и левого частного;
• множество всех подмножеств частично упорядоченной полугруппы $S$ с операцией $\cdot :A\cdot B=\{a\cdot b\mid a\in A,b\in B\}$, здесь $A/B=\{c\in S\mid \{c\}\cdot B\subseteq A\}$ (левое — аналогично).

Литетатура

• Шаблон:Из
• Шаблон:Книга:Общая алгебра